1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y
2、1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10提醒当且仅当x2y20时，ab与等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12 ，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)已知向量a，b满足ab(1，5)，ab(5，3)，则b()A(3，4)B(3，4)C(3，4)D(3，4)
3、解析：选A.由ab(1，5)，ab(5，3)，得2b(1，5)(5，3)(6，8)，所以b(6，8)(3，4)，故选A. 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：(3，2)(0，1)(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)故选A. (2017高考山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)若ab，则_解析：因为ab，所以162，所以3.答案：3 在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：因为3
4、，所以(ab)，又因为ab，所以(ab)ab.答案：ab平面向量基本定理及其应用 典例引领 (1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足2，3，则_(用，表示)(2)在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_【解析】(1)如图所示，()，()，所以()().(2)因为，所以32，即22，所以2.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设.所以，又tt()tt.故解得故t的值是.【答案】(1)(2)1在本例(2)中，试用向量，表示.解：因为，所以32，即22，2，所以，.2在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由
5、本例(2)的解析及，2知，()(1)(1).因此点M是AQ的中点平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 通关练习1在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于()A.B.C. D.解析：选D.因为()22，所以，所以，所以.2如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.ab B.abC.ab D.ab解
6、析：选C.如图，连接BP，则b，a，得2ab，又()，将代入，得2ab，解得ab.平面向量的坐标运算 典例引领 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，
7、2)，所以N(9，2)所以(9，18)向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数 若向量a(2，1)，b(1，2)，c，则c可用向量a，b表示为()Acab BcabC
8、cabDcab解析：选A.设cxayb，则(2xy，x2y)，所以解得则cab.平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标；(3)三点共线问题典例引领角度一利用两向量共线求参数 (2018合肥市第一次教学质量检测)已知向量a(1，3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数k_【解析】a2b(3，32k)，3ab(5，9k)，由题意可得3(9k)5(32k)，解得k6.【答案】6角度二利用两向
9、量共线求向量坐标 已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_【解析】因为在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)【答案】(2，4)角度三三点共线问题 已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()AB.C.D.【解析】(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7
10、(2k)，解得k.【答案】A(1)向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值 通关练习1已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.当m6时，a(ab
11、)，则“m6”是“a(ab)”的充分必要条件2已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m. 对平面向量基本定理的理解
12、(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式 易错防范(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(3)两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 1设向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2B2C2D0解析：选B.因为a与b方向相反，所以bma，
13、m0，则有(4，x)m(x，1)，所以解得m2.又m0，所以m2，xm2.2已知A(1，4)，B(3，2)，向量(2，4)，D为AC的中点，则()A(1，3) B(3，3)C(3，3)D(1，3)解析：选B.设C(x，y)，则(x3，y2)(2，4)，所以解得即C(1，6)由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以(03，52)(3，3)3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且AOC，且|OC|2，若，则()A2 B.C2D4解析：选A.因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又因为，所以(，)(1，0)(0，1)(，)，所以，2.4已知非
14、零不共线向量、，若2xy，且(R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy20，故选A.5(2018江西吉安模拟)设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析：选A.由题意得，因此()，故与反向平行6已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_解析：因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又因为为锐角，所以.答案：7(2018绵阳诊断)在ABC中，P是BN上一点，若m，则
15、实数m的值为_解析：因为B，P，N三点共线，所以t(1t)t(1t)，又因为m，所以解得mt.答案：8(2018福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且()，则|_解析：由()()，知点D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以(2，2)，故|2.答案：29已知A(1，1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，因为A，B，C三点共线，所以.所以2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)因为2，所以(a1，b1)2(2，2)所以解得所以点C的坐标为(5，3
16、)10.如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解：因为ab，ab，所以ab.因为ab，所以ab，所以ababab.综上，ab，ab，ab.)1.如图，在ABC中，若，则的值为()A. B.C. D.解析：选A.因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，则.2已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心D垂心解析：选B.由，知，即，所以点P在BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过ABC的内心3如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则_解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，
17、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则，(1，1)因为，所以解得所以.法二：由，得，又，所以解得所以.答案：4(2018长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD中，AB3，AD2，BAD120，P是平行四边形ABCD内一点，且AP1，若xy，则3x2y的最大值为_解析：|2(xy)29x24y22xy32(3x2y)23(3x)(2y)(3x2y)2(3x2y)2(3x2y)2.又|21，因此(3x2y)21，故3x2y2，当且仅当3x2y，即x，y时，3x2y取得最大值2.答案：25若点M是ABC所在平面内一点，且满足.(1)求ABM与ABC的面积之比；(2)若N为AB中点
18、，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值解：(1)由，可知M，B，C三点共线如图令得()(1)，所以，所以，即面积之比为14.(2)由xy得x，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线6如图，设Ox，Oy为平面内相交成60角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标若的坐标为(1，1)(1)求|；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的面积最小，并求出最小值解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|1，|1，ONP120，所以|.(2)设|x，|y.mn(mn1)，则mnmxe1nye2.得1.SAOB|sin 60xysin 60xy.因为1，所以2，SAOBxy，当且仅当xy2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为.