1、立体几何专 题 四 1/()(10223()abOaabbababab定义：直线、是异面直线，经过空间一点，分别作，相交直线，所成的锐角 或直角 叫做异面直线，所成的角范围：，方法：平移法：在图中选一个恰当的点 通常是线段端点或中点 作，的平行线，构造一个三角形两条异面直线所，并解三成的角角形求角111222121212222222111222cos|cos|()()cos.xyzxyzx xy yz zxyzxyz向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式，来求利用向量计算选取一组基向量，分别算出，代入上式利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量，法一：法，二，：，
2、所以a baba ba b a bab12cos coscos.三线角公式：斜线和平面所成角和平面内一直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和该直线所成角的余弦即 12202定义：平面一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线平行于平面或直线在平面内，我们说它们所成的角是零角范直线和平围：，面所成的角 112212()()coscoscoscoscos.c3os.ABBAOBAOCBOC方法：几何法：作出 或找到 斜线与射影所成的角，论证所作 或所找 的角就是要求的角，解三角形求出此角公式法：于点，(),s
3、in|cos|.|aaa斜线与平面所成的角及平面内一直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内该直线所成角的余弦值向量法：设直线 与平面 所成角为，直线 的方向向量与平面 的法向量分别是，则，的余角或其补角的余角，即为 与 所成的角，mnmnm nmnm n 1.23CDOAOBOAOBCD定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；二面角的大小用它的平面角来度量方法：定义法：在棱上找一点，在两个面内分别作棱的垂线，则为二面角的二面角平面角cos.AABBBOCDOAOAOBCDCDOAOBOAOBCDSS射影多边形原多边形三垂线定理及其逆定理法：过 内一点，作交 于，作于，连结，为平
4、面角或其补角垂面法：过棱上一点 作棱的垂直平面 与两个半平面的交线分别为、，则为的平面角射影面积法：arccos|arccos.|llll 向量法：在 内，在 内，其方向如左下图，则二面角的平面角；其方向如右上图，则法一：二面角的平面角aba baba bab12arccos.|ll 设，是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角法二：1212nnnnnn2/222_PABCDPADABCDPAPDABCDBC ADABADADABBCPBCD如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形例，其中，则异面直线与所成角的余弦值为1.考点1 求异面直线所成
5、的角RtADOOBCDPBOPOB注意到条件中线段之间的二倍关系，它提示我们可通过取的中点，构造平行四边形，作出异面直线所成角为，然后分析再：在中求解./22/.ADOBOPOABCDBC ADADABBCOD BCODBCOBCDOB DCPBOPBCD取的中点，连结，在直角梯形中，有且，所以四边形是平行四边形，所以所以是异面直线与所解析：成的角22.222112211.326cos.3336PAPDOADPOADPADABCDPOABCDPOBOADABBCRt AOBABAOOBRt POAAPAOOPRt PBOPBPOBOPOPBOPPCBBD又因为，为的中点，所以因为平面底面，所以
6、平面，所以因为，在中，所所以异面直线与所成角以，在中，所以在的正切值是中，“”“”ABCDAD本题根据梯形中的的中点及平行四边形的性质确定异面直线所成的角，但本题的 证 与 解 两个过程相对较复杂一些，因此在证明时一定要注意理由充足及计算【思维启迪】的准确性 1.22PABCPCABCPCACABBCDPBCDPABABPCBAPBC如图，三棱锥中，平面，是上一点，且平面求证：平面；求异面直线与所成角变式题：的大小 1.1PCABCABABCPCABCDPABABPABCDABCDPCCABPCB因为平面，平面，所以又平面，平面，所以而，所以平面解证：明：方法析：22/1.sin4526.6R
7、ttan2.323AAF BCCFPFPAFAPBCABBCCFAFPCABCFPFAFAFCFACPFPCCFPFPFAPAFAFAPBC 过 作，连结、，则为异面直线与所成的角由可知，所以又平面，所以则，在中，所以异面直线与所成的角为 1.12.2.122ABPCBPCACABBCBCB同方法由知平面，因为又，可求得以 为原点，如图建立空间直角方法：坐标系，(02 0)0,0,0(2 0,0)(2 0,2)(22 2)(2 0,0)22001cos32.22 2ABCPAPBCAP BCAP BCAP BCAPBC则，所以，所异面直线与所成的角为以111112_ABCDA B C DEBC
8、DEABCD如图，在棱长为 的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为例2.考点2 求直线与平面所成的角1EBCEFBCFBCEFABCDDEABCD由于 是的中点，故可作，则垂足 必为的中点，不难证明平面，由此可顺利作出直线与平面所分析：成的角11.EEFBCBCFDFB BCCABCDEFABCDDFDEABCDEDFDEABCD过 作，交于，连结因为平面平面，所以平面，所以是在平面上的射影解所以是直析线与平面所：成的角11111225.5Rttan.5.55EFCCCFCBDFEFDDEFEDFDFEABCD由题意，得，所以在中直线与平面所成角的正切值是，故1EBCBCEABCD
9、根据条件中 为的中点易想到的中点就是 在平面上的射影，这是解答本题【思的维启迪】突破口45()2136A.B.C.D.2333SABCSASBSCDABSDBCSDABC已知 是正三角形所在平面外一点，且，是的中变点，且与成角，则与底面所成角的正弦值为 式题：/45.ACEDESEDABDE BCSDESDBCSDESOABCOCDOAOBOCOCDSDOSDABC取的中点，连结，则由 是的中点知，故是与所成角，所以作平面于，连结，则 必在上，故即与底面所解析：成的角，RtRtRt21.45.SASBSCSOASOBSOCOAOBOCOABCBCDESABSACSBCSDSESED又，则，所以
10、，所以 为的中心设，则由条件易知，则，所以2.233636Rtcos33sCin.3SDESDABCODBCDOSODSDOSDSDO所以是等腰直角三角形，所以又在等边中，在中，所以，选故11111111903221_ABCA B CBACA AABCA AABACACAC CB三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，则二面角的正切值为例3.考点3 求二面角分析：由条件A1A平面ABC，可产生线线垂直，因此可考虑过A作AECC1于E，连结BE，只须证明BECC1即可11111111.AEC CC CEBEA AABCA AABABACABACC AAEBEACC A如图，
11、作交于 点，连结，因为平面，所以由已知得，所以平面所解析以是在平面：内的射影11111111360.3Rtsin6023.2Rt26tan33.BECCAEBACCBCC FACACFCFACAFC FA AC CFAEABACAEACBAEEBAE 由三垂线定理知，所以为二面角的平面角过作交于 点，则，所以在中，在中，11190BACA AABCABAAC C解答的突破口在于两个条件“，平面”，由此确定为平面的垂线，进而利用三垂线定理确定二面角【思的维启迪】平面角 /222.12PABCDABCDAD BCPAABPBPAADPCCDACCDEPDEACD如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，求
12、证变式：；设 为的中题：点，求二面角的大小 222448./2.1PAABPBPAABPAADABADAPAABCDPCCDACCDADFACOEFOFEOEPDEF PAOF CDOFAC，所以又，且，所以平面因为，所以取的中点为，的中点为，连结，又 为的中点，则，所以解证明：析：111122tan1454.5PAABCDEFABCDEFACACOEEOFEACDEFPAFOCDEFEOFEOFOEACDF由平面，知平面，则，从而，所以是二面角的平面角二面角的大小为易知，则，即，故 111111111112321ABCDA B C DAAABEDDB DA ADDB DAECAED如图，在正
13、四棱柱中，是的中点求直线和平面所成角的大小；求证：；求二面备角选题:的大小 111111111111111111111111111111.3Rttan331030.A DABCDA B C DA BA ADDA DB DA ADDA DBB DA ADDA BB A DA DBA DA DBB DA ADD连结因为是正四棱柱，所以平面，所以是在平面上的射影，所以是直线和平面所成的角在中，所以，即直线和平面所成角的大小是解析：11111111111RtRt290.2.1A DB DA ADADEA AADA ADADEADDEA DAAEDA DAA ADDBEADAEDDEADA DAEAE
14、证明：在和中，因为，所以是在平面上的射影，根据三垂线定理得，所以，所以，所以由知，111.Rt3.3Rtta60n36.30A DAEFCFCDA ADDAEDFAECFDFCCAEDADEAD DEAE DFAD DEDFAECDFDCDFCDFDFCCAED设，连结 因为平面，且，根据三垂线定理得，所以是二面角的平面角在中，由，得在中即二面角的大以小是，所，1空间角的计算方法都是转化为平面角计算要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，比如利用“中点”等性质异面直线所成角强调的是“平行”，直线与平面所成角强调的是“射影”，二面角的平面角强调的是“垂直”另外，必须注意三类角的取值范围 12233求
15、角的一般步骤：找出或作出有关的平面角；证明它是符合定义的角；将所求归到某一三角形中进行计算向量法求解的关键是建立空间直角坐标系，若题中无明显两两垂直的直线，要先证明后建系，若建系困难可以考虑几何法或利用空间向量的向量式解决另外，利用向量法求解角，注意向量夹角与所求的空间角的关系1111111.(2011.)ABCDA B C DEC DAEBC 已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_国大纲卷_全2/Rt52cos.323DEADAD BCDAEAEBCADEDEADAEADDAEAE连结，设，易知，所以就是异面直线与所成的角在中，由于，可得，解析：所以 2.(2011)221
16、023POPOOABCCABDACACPODOCPAC如图，在圆锥中，已知，的直径，点 在上，且，为的中点证明：平面；求直线和平面所成角湖南卷的正弦值.1OAOCDACACODOPOACOACPOODPOPODACPOD因为，是的中点，所以又底面，底面，所以而，是平面内的两条相交直线，所以平：解面证明析：1.2ACPODACPACPODPACPODOOHPDHOHPACCHCHOCPACOCHOCPAC由知，平面，又平面，所以平面平面在平面中，过 作于，则平面连结，则是在平面上的射影，所以是直线和平面所成的角221Rtsin30.21222Rt.31242Rtsin.323OCPACODAODOAPO ODPODOHPOODOHOHCOCHOC 在中直线和平面所成角的正弦值，在中，在中，为故