1、上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编9：圆锥曲线姓名_班级_学号_分数_一、选择题 （上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上的任意一点,若(为坐标原点),则下列不等式恒成立的是 (A)B CD （上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）过点作直线与双曲线交于AB两点,使点P为AB中点,则这样的直线 （）A存在一条,且方程为B存在无数条 C存在两条,方程为D不存在 （2013年上海市高三七校联考（理）若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列,那么这三点（）A到原点的距离成等差数列B到轴的距离成等差
2、数列 C到轴的距离成等差数列D到焦点的距离的平方成等差数列二、填空题 （上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为_. （四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理）已知双曲线的方程为,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为_. （上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为_. （上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知点是双曲线上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是_. （上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）设、是椭圆的两个
3、焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于_. （上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且渐近线方程为,则此双曲线方程为_.（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）椭圆上的任意一点(除短轴端点除外)与短轴两个端点的连线交轴于点和,则的最小值是_（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论: 曲线C过坐标原点; 曲线C关于坐标原点对称;若点P在曲线C上,则FPF的面积大于.其中,所有正确结论的序号是_.（上海市八校2013届高三下学期
4、联合调研考试数学（理）试题）双曲线过,且渐近线夹角为,则双曲线的标准方程为_.（2013年上海市高三七校联考（理）设分别为双曲线的左、右焦点,过且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点,若,则_. （2013届浦东二模卷理科题）若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是_.（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）设双曲线的左右顶点分别为、 ,为双曲线右支上一点,且位于第一象限,直线、的斜率分别为、,则的值为_.三、解答题（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知双曲线的中心在原点,是它的一个顶点,是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线的方程;(2
5、)若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点),求证:为定值;(3)对于双曲线G:,为它的右顶点,为双曲线G上的两点(都不同于点),且,那么直线是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明过程).情形一:双曲线及它的左顶点; 情形二:抛物线及它的顶点;情形三:椭圆及它的顶点.（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分18分,第1小题满分8分,第2小题满分10分在平面直角坐标系中,已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹,曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的.(
6、1)求曲线与坐标轴的交点坐标,以及曲线的方程;(2)过定点的直线交曲线于、两点,已知曲线上存在不同的两点、关于直线对称.问:弦长是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由.（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知双曲线的顶点和焦点分别是椭圆E的焦点和顶点(1)求椭圆E的方程.(2)已知椭圆E上的定点关于坐标原点的对称点为D,设点P是椭圆E上的任意一点,若直线CP和DP的斜率都存在且不为零,试问直线CP和DP的斜率之积是定值吗?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.(3)对于椭圆E长轴上的
7、某一点(不含端点),过作动直线(不与轴重合)交椭圆E于M、N两点,若点满足,求证:.（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分6分.在平面直角坐标系中,方向向量为的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于、两点(1)若点在轴的上方,且,求直线的方程;(2)若,且的面积为,求的值;(3)当()变化时,是否存在一点,使得直线和的斜率之和为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.第22题（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.设抛物线
8、的焦点为,经过点的动直线交抛物线于点,且.(1)求抛物线的方程;(2)若(为坐标原点),且点在抛物线上,求直线倾斜角;(3)若点是抛物线的准线上的一点,直线的斜率分别为.求证:当为定值时,也为定值.（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知抛物线:,直线交此抛物线于不同的两个点、.(1)当直线过点时,证明为定值;(2)当时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)如果直线过点,过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、.设线段的中点为,线段的中点为,记线段的中点为.问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个
9、定点;若不存在,请说明理由.（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）动圆过定点,且与直线相切,其中.设圆心的轨迹的程为(1)求;(2)曲线上的一定点(0) ,方向向量的直线(不过P点)与曲线交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为,计算;(3)曲线上的两个定点、,分别过点作倾斜角互补的两条直线分别与曲线交于两点,求证直线的斜率为定值;（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分)如图,已知点,直线:,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且.(1)求动点的轨迹的方程;(2)(理)过轨迹的准线与轴的交
10、点作直线与轨迹交于不同两点、,且线段的垂直平分线与轴的交点为,求的取值范围;(3)(理)对于(2)中的点、,在轴上是否存在一点,使得为等边三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. （上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分14分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知椭圆以为焦点且经过点,(1)求椭圆的方程;(2)已知直线过点,且直线的一个方向向量为.一组直线()都与直线平行且与椭圆均有交点,他们到直线的距离依次为,直线恰好过椭圆的中心,试用表示的关系式,并求出直线的方程.(用、表示)（2013年上海市高三七校联考（理）本题共有2小题,第(1)小题满
11、分7分,第(2)小题满分7分.如图,已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线交抛物线于,两点,直线分别与抛物线交于点.(1)证明的值与无关,并用表示;(2)记直线的斜率为,证明为定值.P0FxyABNM第21题图（2013届浦东二模卷理科题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.(1)设椭圆:与双曲线:有相同的焦点,是椭圆与双曲线的公共点,且的周长为,求椭圆的方程; 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.(2)如图,已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值; xyo3(3
12、)由抛物线弧:()与第(1)小题椭圆弧:()所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点,且(),试用表示;并求的取值范围. （2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过两点,是上的动点.(1)求的最大值;(2)若平行于的直线在轴上的截距为,直线交椭圆于两个不同点,求证:直线与直线的倾斜角互补.解:上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编9：圆锥曲线参考答案一、选择题 B D B 二、填空题 ; 1; ; ; 三、解答题本题共有3个小题,第1
13、小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题有三个问题情形,每位考生只能选择一个作答,若多答,只对所答情形中最前面的一个记分,情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分. 解:(1)设双曲线C的方程为,则, 又 ,得,所以,双曲线C的方程为 (2)当直线垂直于轴时,其方程为,的坐标为(,)、(,), ,得=0 当直线不与轴垂直时,设此直线方程为,由得 . 设,则, , 故 +=0 . 综上,=0为定值 (3)当满足时,取关于轴的对称点、,由对称性知,此时与所在直线关于轴对称,若直线过定点,则定点必在轴上 设直线的方程为:, 由,得 设,则, , 由,得, 即, , 化简得, 或 (舍), 所以,直线
14、过定点(,0) 情形一:在双曲线G :中,若为它的左顶点,为双曲线G上的两点(都不同于点),且,则直线过定点(,0) 情形二:在抛物线中,若为抛物线上的两点(都不同于原点),且,则直线过定点 情形三:(1)在椭圆中,若为它的右顶点,为椭圆上的两点(都不同于点), 且,则直线过定点(,0); (2)在椭圆中,若为它的左顶点,为椭圆上的两点(都不同于点),且,则直线过定点(,0) ; (3)在椭圆中,若为它的上顶点,为椭圆上的两点(都不同于点), 且,则直线过定点(0,); (4)在椭圆中,若为它的下顶点,为椭圆上的两点(都不同于点), 且,则直线过定点(0,) 解:(1)设,由题意,可知曲线为抛
15、物线,并且有 , 化简,得抛物线的方程为:. 令,得或, 令,得或, 所以,曲线与坐标轴的交点坐标为和,. 由题意可知,曲线为抛物线,过焦点与准线垂直的直线过原点, 点到的距离为. 所以是以为焦点,以为准线的抛物线,其方程为:. (2)设,由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,则直线的方程为, 则得, 所以 , 设弦的中点为,则 因为在直线上,所以 ,即 将代入,得, 设,则. 构造函数,. 由已知,当,即时,无最大值,所以弦长不存在最大值. 当时,有最大值,即弦长有最大值 解: (2)由题意得D点的坐标为,显然D点在椭圆E上 由题意知直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在且不等于
16、0,设P(x,y), 由于 由于 化简得 ,所以 综合以上得 证明完毕 【解】 (1)由题意,得,所以 且点在轴的上方,得 , 直线:,即直线的方程为 (2)设、,直线: 将直线与椭圆方程联立, 消去得, 恒成立, 所以 化简得,由于,解得 (3)假设存在这样的点,使得直线和的斜率之和为0,由题意得,直线: () 消去得 恒成立, , 所以, 解得,所以存在一点,使得直线和的斜率之和为0 【解析】根据题意可知:,设直线的方程为:,则: 联立方程:,消去可得:(*), 根据韦达定理可得:,: 设,则:,由(*)式可得: , 又, , 直线的斜率,倾斜角为或 可以验证该定值为,证明如下: 设,则:
17、, , 为定值 解:(1)过点与抛物线有两个交点,设,由得, (2)当直线的斜率存在时,设,其中(若时不合题意). 由得.,从而 从而,得,即,即过定点 当直线的斜率不存在,设,代入得,从而,即,也过. 综上所述,当时,直线过定点 (3)依题意直线的斜率存在且不为零,由(1)得点的纵坐标为,代入得,即. 由于与互相垂直,将点中的用代,得 设,则消得 由抛物线的定义知存在直线,点,点到它们的距离相等 (1)过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:,即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线, 其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为; (2)证明:设 A()、B() 过不过点P的直
18、线方程为 由得 则, = =0 (3)设, = (*) 设的直线方程为为与曲线的交点 由 ,的两根为 则 同理,得 代入(*)计算 (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分) 解:(1)设,由题意, , 由,得, 化简得.所以,动点的轨迹的方程为 (2)轨迹为抛物线,准线方程为, 即直线,所以, 设直线的方程为(),由 得, 由,得 设,则, 所以线段的中点为, 所以线段垂直平分线的方程为, 令,得 因为,所以 (3)由(2),所以 假设存在点,使得为等边三角形, 则到直线的距离 因为,所以, 所以,解得 所以,存在点,使得为等边三角形 (2) 直线且过椭圆的中心
19、,直线的方程为: 由题意知:直线到的距离为,即: 设直线的方程为:, 直线与椭圆有交点, 消去,得, 证明:(1)依题意,设直线的方程为 将其代入,消去,整理得 从而.于是 与无关, 又 (2)证明:设,. 则 设直线的方程为,将其代入,消去, 整理得 . 同理可得 故 由(1)知,为定值 解:(1)由的周长为得, 椭圆与双曲线:有相同的焦点,所以, 即,椭圆的方程; (2)证明:设“盾圆”上的任意一点的坐标为, 当时, 即; 当时, 即; 所以为定值; (3)显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方(或轴上): 当时,此时,; xyo当
20、时,在椭圆弧上, 由题设知代入得, , 整理得, 解得或(舍去) 当时在抛物线弧上, 由方程或定义均可得到,于是, 综上,()或(); 相应地, 当时在抛物线弧上,在椭圆弧上, ; 当时在椭圆弧上,在抛物线弧上, ; 当时、在椭圆弧上, ; 综上的取值范围是 解(1)设椭圆的方程为 将代入椭圆的方程,得 理2分,文3分 解得,所以椭圆的方程为 理2分,文3分 设点的坐标为,则. 又是上的动点,所以,得,代入上式得 , 故时,.的最大值为. 理2分 (2)因为直线平行于,且在轴上的截距为,又,所以直线的方程为.由 得 文理2分 设、,则. 又 故.文理2分 又, 所以上式分子 文理2分 故.文2分 所以直线与直线的倾斜角互补.理2分 版权所有：高考资源网()
