1、第五章计数原理1基本计数原理1.2计数原理的简单应用课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为()A.26B.24C.20D.19答案D解析由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.2.从0,1,2,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b
2、)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()A.100B.90C.81D.72答案C解析分两步:第一步选b,因为b0,所以有9种选法;第二步选a,因为ab,所以有9种选法.由分步乘法计数原理知共有99=81个点.3.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有()A.512个B.192个C.240个D.108个答案D解析可分为两类:第一类是末位为0,由分步乘法计数原理,共有543=60(个).第二类是末位为5,由分步乘法计数原理共有443=48(个).由分类加法计数原理得共有60+48=108(个).4.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注
3、2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全(每组号买一注),需要()A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答案D解析从01至10中选3个连续的号,有8种方法;从11至20中选2个连续的号,有9种方法;从21至30中选1个号,有10种方法;从31至36中选1个号,有6种方法,故总的选法有89106=4320(种),可得需要24320=8640(元).故选D.5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则
4、不同的承建方案有种.答案96解析完成承建任务可分五步:第一步,安排1号子项目,有4种方法;第二步,安排2号子项目,有4种方法;第三步,安排3号子项目,有3种方法;第四步,安排4号子项目,有2种方法;第五步,安排5号子项目,有1种方法.由分步乘法计数原理知,共有44321=96种承建方案.6.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有种.答案13解析四个焊点共有24种情况,其中使线路通的情况有:1,4处都通,2和3处至少有一个通时线路才通,共有3种情况.故线路不通的情况有24-3=13(种).7.若把两条异面直线看成“一
5、对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有多少对?解底面上的六条棱所在的直线共面,则每两条之间不能构成异面直线.六条侧棱所在的直线共点,每两条之间也不能构成异面直线.结合图形可知,底面上的六条棱所在的直线中的每一条与和它不相交的四条侧棱所在的四条直线中的每一条能构成异面直线.再由分步乘法计数原理知,可构成异面直线64=24(对).8.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用,则该板报有多少种书写方案?解第一步,选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步,选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角相同,有5种不同
6、的选法;第三步,选理综世界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不相同,有4种不同的选法;第四步,选数学天地用的彩色粉笔,只要与理综世界不同即可,有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有6545=600种不同的书写方案.等级考提升练9.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法种数是()A.8B.9C.10D.11答案B解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d.若A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法.同理,若A监考c,d时,也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理,得监考方法共有3+3+
7、3=9(种).10.已知a1,2,3,b4,5,6,7,r8,9,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为()A.12B.36C.20D.24答案D解析完成表示的圆这件事可以分三步完成:第一步,确定a,有3种不同的选取方法;第二步,确定b,有4种不同的选取方法;第三步,确定r,有2种不同的选取方法,故选D.11.(多选题)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜,甲、乙两人每人在该窗口打2种菜,且每人至多打1种荤菜,则下列说法中正确的是()A.甲若选一种荤菜,则有6种选法B.乙的选菜方法数为9C.若两人分别打菜,总的方法数为18D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同,则方法数为3
8、0答案AB解析若甲打一荤一素,则有23=6种选法,故A正确;若乙打一荤一素,则有6种选法,若打两素,则有3种选法,共9种选法,故B项正确;选项C应为99=81种方法,选项D应为232+321=18种.12.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为()A.9B.12C.18D.24答案B解析由分步乘法计数原理得,完全展开后的项数为223=12.13.如图,一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域,现有4种不同的花可供选种,要求在每个区域里种1种花,且相邻的2个区域种不同的花,则不同种法的种数为()A.96B.84C.60D.48答案B解析当A,C区域种同样的花时,A,C区
9、域有4种种法,B区域有3种种法,D区域有3种种法;当A,C区域种不同的花时,A区域有4种种法,C区域有3种种法,B区域有2种种法,D区域有2种种法.故一共有433+4322=84种不同的种法.14.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成组.答案60解析分两类,第一类:由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,则有56=30组不同的结果.第二类也有30组不同的结果,共可得到30+30=60(组).15.圆周上有2n(
10、n大于2)个等分点,任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为.答案2n(n-1)解析先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共有2n(n-1)个符合题意的直角三角形.16.用0,1,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法
11、.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是91010=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是998=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是498=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是99=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=9
12、1.新情境创新练17.已知AB=a1,a2,a3,且AB,当AB时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对有个.答案26解析由集合A,B都是AB的子集,AB且AB=a1,a2,a3知可分四类.对A=时,B有1种取法;当A对一元素集时,A有3种取法,B有2种取法;当A为二元素集时,A有3种取法,B有4种取法;当A为三元素集时,A有1种取法,B有7种取法.故不同的(A,B)对有1+32+34+7=26(个).18.(北京大学自主招生)从一个正九边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的3个顶点的选法种数是()A.30B.36C.42D.前3个答案都不对答案A解析如图,正九边形的9个顶点构成其外接圆的9个等分点,以每个分点为“顶点”的等腰三角形共计4个,但P1P4P7,P2P5P8和P3P6P9分别重复两次计数,所以不同的选法种数是49-23=30.