1、第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及其线性运算A组基础巩固一、单选题1.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(D)ABCD解析由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误2(2022四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则(B)A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上解析22，22，即2，点P在线段AB的反向延长线上，故选B.3(2018课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则(A)ABCD解析()()()，故选A.4(2022辽宁
2、丹东模拟)设平面向量a，b不共线，若a5b，2a8b，3(ab)，则(A)AA，B，D三点共线BA，B，C三点共线CB，C，D三点共线DA，C，D三点共线解析a5b，2a8b，3(ab)，(a5b)(2a8b) 3(ab)2(a5b)2，与共线，即A，B，D三点共线，故选A.5(2022唐山模拟)已知O是正方形ABCD的中心若，其中，R，则等于(A)A2BCD解析，所以1，因此2.6(2021东北师大附中等五校联考)已知向量a，b(cos ，1)，且ab，则sin(C)ABCD解析向量a，b(cos ，1)，且ab，则tan cos sin ，又，知cos ，所以sincos .二、多选题7(
3、2021湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(BC)A单位向量都相等B模为0的向量与任意向量共线C平行向量一定是共线向量D任一向量与它的相反向量不相等解析对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确8(2021广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(AC)A|一定成立B一定成立C一定成立D一定成立解析在平行四边形ABCD中，一定成立，一定不成立，一定成立，但|不一
4、定成立，故选A、C.三、填空题9如图所示，下列结论不正确的是 .ab；ab；ab；ab.解析由ab，知ab，正确；由ab，从而错误；b，故ab，正确；2bab，错误故正确的为.10若|2，则|2.解析因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.11设a和b是两个不共线的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 4 .解析A，B，D三点共线，.2akb，a2b，k4.故填4.12如图所示，已知B30，AOB90，点C在AB上，OCAB，若用和来表示向量，则.解析易知().四、解答题13已知O，A，B是不共线的三点，且mn(
5、m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，则A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()(1)又mn由得(1)mn不共线mn1.14(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.求证：A，B，D三点共线；若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；(2)已知a、b不共线，若向量kab与akb共线反向，求实数k的值解析(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2，又与有公共点B
6、，A，B，D三点共线由可知e14e2，又3e1ke2，由B，D，F三点共线，得，即3e1ke2e14e2，解得k12，(2)kab与akb共线反向，存在实数使kab(akb)(0)k1.又0，k1.B组能力提升1在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是(C)A矩形B平行四边形C梯形D菱形解析8a2b2(4ab)2，.又与不平行，四边形ABCD是梯形2如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量相等的向量有几个(C)A1B2C3D4解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，共3个3(2022广
7、西玉林高中模拟)设D，E，F分别为ABC三边BC，CA，AB的中点，则23(D)ABCD解析D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，23()2()3(). 4.(多选题)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(ACD)A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的解析若，则点M是边BC的中点，故A正确；若2，即有，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若，即0，则点M是ABC的重心，故C正确；如图，xy，且xy，可得22x2y，设2，则M为AN的中点，则MBC的面积是ABC面积的，故D正确故选ACD.5(2021衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则(D)ABCD解析，.E为BC的中点，F为AE的中点，()，又，.