1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.lo16=()A.4B.-4C.D.-解析:lo16=-log216=-4.答案:B2.函数f(x)=的定义域是()A.4,+)B.(10,+)C.(4,10)(10,+)D.4,10)(10,+)解析:由解得所以x4,且x10,故函数f(x)的定义域为4,10)(10,+).答案:D3.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-
2、30,f(2)=ln 2-20,f(4)=ln 40,则x0(2,3).答案:C4.已知函数f(x)=+2,则f(-10)+f(10)=()A.0B.2C.20D.4解析:令g(x)=,易知g(x)为奇函数,因此f(-10)+f(10)=g(-10)+g(10)+4=0+4=4.答案:D5.已知a=,b=,c=,则()A.abcB.bacC.acbD.cab解析:因为c=,所以c=.所以只需比较log23.4,log43.6,log3的大小.又0log43.6log33.4log31,所以acb.答案:C6.渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏,若不
3、及时处理,打上来的鱼将会很快失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚多就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(单位:分)满足的函数解析式为h(t)=mat.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,则不及时处理,打上来的这种鱼开始失去全部新鲜度的时间为()(已知lg 20.3,结果取整数)A.33分钟B.40分钟C.43分钟D.50分钟解析:由题意,得解得所以h(t)=0.05,当h(t)=100%时,0.05=
4、100%,即=20,两边取以10为底的对数,得lg 2=1+lg 2,解得t43.答案:C7.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是()A.(0,+)B.0,2C.(0,2)D.(2,+)解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0mf(2),则实数m的取值范围为()A.(4,+)B.C.(4,+)D.(4,+)解析:易知函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+)内单调递增.又因为f(log2m)f(2),所以f(|log2m|)f(2).所以|log2m|2.所以log2m2或log
5、2m-2,解得0m4.答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.给定下列函数,其中在区间(0,1)内单调递减的是()A.y=B.y=lo(x+1)C.y=|x-1|D.y=2x+1答案:BC10.若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象不正确的是()解析:由函数y=logax的图象过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图象不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图象正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图象不正确;选项D中的函数为
6、y=log3(-x),则其函数图象不正确.答案:ACD11.已知函数f(x)=2-x,对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1x2),下列结论正确的是()A.f(x1+x2)=f(x1)f(x2)B.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)C.(x1-x2)f(x1)-f(x2)x2时,f(x1)f(x2),当x1f(x2).当x1x2时,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,0,f.故D正确.答案:ACD12.已知函数f(x)=a|log2x|+1(a0),定义函数F(x)=给出下列四个命题,其中是真命题的有()A.F(x)=|f(x)|B.函数F(x)是偶函数C.当a0时,若0mn1
7、,则有F(m)-F(n)0时,函数y=F(x)-2有4个零点解析:A.易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;B.因为F(x)=f(|x|),所以F(-x)=F(x),因此函数F(x)是偶函数;C.当a0时,若0mn1,则F(m)-F(n)=-alog2m+1-(-alog2n+1)=a(log2n-log2m)0时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x|+1=2,即|log2|x|=.故|x|=或|x|=.故函数y=F(x)-2有4个零点.故选BCD.答案:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.化简:-(0.04)0.5=.解析:原
8、式=1+9-=1+9-=7-.答案:14.已知函数f(x)=ln x+ex-m,函数f(x)在区间(0,+)上是(填“增”或“减”)函数,若函数f(x)在区间(1,e)上有零点,则m的取值范围是.(本题第一空2分,第二空3分)解析:因为y=ln x和y=ex-m在区间(0,+)上都是增函数,所以f(x)=ln x+ex-m在区间(0,+)上是增函数.又因为f(x)在区间(1,e)上有零点,所以解得em0),则4x-k2x+k+3=0可化为t2-kt+k+3=0.设f(t)=t2-kt+k+3,由题意可知f(t)在区间(0,+)上有一个零点,f(0)0或=0,k0,满足条件.答案:(-,-3)6
9、四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求值:(1)(0.25(-2)3+(-1)-1-;(2)lg -lg +lg 12.5-log89log278.解:(1)原式=-416+1-=-.(2)原式=-lg 2-lg 5+lg 8+lg 25-lg 2-=-1+3lg 2+2lg 5-lg 2-=-1+2(lg 2+lg 5)-.18.(12分)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值.解:(1)f(x)=所以f(x)在区间(0,+)内单调递减,在区间(-,0)内单调递增.(2)因为|x|-a
10、的最小值为-a,所以f(x)=的最大值为,即,故a=2.19.(12分)已知函数f(x)=lo(10-ax),且f(3)=-2.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若不等式f(x)+m在x3,4上恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)因为f(3)=-2,所以lo(10-3a)=-2.所以10-3a=4,解得a=2.所以f(x)=lo(10-2x).要使函数f(x)有意义,应有10-2x0,即x0,即9-4m0时,m.设f(x)=0的两根为x1,x2,且x1x2,若0m0,x1x2=0,即x10,x20,符合题意;若m0,则x1+x2=0,x1x2=0,即x10,符合题意.综上可知m的取值范围为
11、.21.(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,还可以美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市天数t(单位:天)的数据情况如下表:t/天50110250Q/(元(10 kg)-1)150108150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市天数t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt;(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解:(1)由所
12、提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市天数t的增加先减少再增加.若用函数Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得解得所以,刻画芦荟种植成本Q与上市天数t的变化关系的函数为Q=t2-t+.(2)当t=-=150时,Qmin=1502-150+=100.故上市150天,最低种植成本为100元/10 kg.22.(12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数.(1)求实数k的值;(
13、2)设g(x)=log4,若函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx.因此log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx.所以(2k+1)x=0.所以2k+1=0,解得k=-.(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-x.因为函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)有且仅有一解.所以log4(4x+1)-x=log4a2x-a,即log4(4x+1)-log4=log4a2x-a.所以log4=log4.所以设2x=t(t0),则=a2x-a可化为(a-1)t2-at-1=0,即式只有一个正根.若a-10,则式的=a2+4a-40,且两根之积为0,故方程必有一个正根,符合题意.若a-1=0,则式化为-t-1=0,解得t=-,不符合题意.若a-11.