1、2.5 平面向量应用举例 必备知识自主学习 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步法”(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.导思(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题?用向量方法解决平面几何问题的“三步法”是什么?(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题?【思考】(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?提示:平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.(2)这里的“向量运算”主要指哪些运算?提示:向量的线性运算及数量积运算.2.向量在平面几何中的应
2、用(1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:aba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:abab=0 x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题,用夹角公式:cos =(为a与b的夹 角).(4)计算线段长度,常用模长公式:|AB|=|=121222221122x xy yxy xya ba b222121(xx)(yy).AB【思考】用向量解决几何问题时,需要选择合适的基底,怎样选择合适的基底?提示:所选择基向量的长度和夹角应该是已知条件中的.3.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在
3、力,速度,加速度,位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.【思考】怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若ABC是直角三角形,则有 =0.()(2)若 ,则直线AB与CD平行.()(3)若 ,则A,B,C三点共线.()(4)物理学中的功是一个向量.()AB BCABCDABAC2.(教材二次开发:习题改编)若向量 =(2,2),=(-3,-1)分别表示两个力 F1,F2,则|F1+F2|为()A.(,0)B.(-
4、,0)C.D.-【解析】选C.F1+F2=(2,2)+(-3,-1)=(-1,1),则|F1+F2|=所以|F1+F2|=.1OF2OF222222(1)12.23.如图,在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则 =_.ACBDAD AC关键能力合作学习 类型一 平面向量在几何证明中的应用(直观想象、数学建模)【题组训练】1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是()A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 2.已知点O,P在ABC所在平面内,且 则点O,P依次是ABC的()A.重心,垂
5、心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心 OAOBOC PA PB PB PC PC PA，3.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.利用共线向量定理证明线段平行或点共线.利用向量的模证明线段相等.利用向量的数量积为0证明线段垂直.(2)常用的两个方法.基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.【补偿训练】若 =3e,=5e,且|=|,则四边形ABCD的形
6、状为_.【解析】由 =3e,=5e,得 ,|,又因为ABCD为四边形,所以ABDC,|AB|DC|.又|=|,得|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形 ABDCADBCABDCABDCABDCADBC类型二 数量积坐标运算的应用(直观想象、数学运算)【典例】已知在四边形ABCD中ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,点E在线段CB 的延长线上,且AE=BE,求 的值.【思路导引】方法一:利用几何关系,选取合适的基向量,利用向量法解决问题.方法二:建系,根据几何关系得出B、D坐标,求出直线BE,AE方程,联立求出点E坐 标,再利用数量积公式求出 的值.3BD AEB
7、D AE【解题策略】1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=2.向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.22xy.【跟踪训练】1.如图,已知ABC的面积为 ,|AB|=2,=1,则AC边的长为_.32AB BC2.设点O是ABC的外心,|AB|=13,|AC|=12,则 =_.BC AO3.在RtABC中,C=90,BC=4,AC=6,则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为_.【拓展延伸】1.直线的方向向量:直线上的向量以及与
8、它平行的向量都称为直线的方向向量.2.直线的法向量:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.【注意】(1)已知直线l的方向向量,可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程.(2)已知直线的法向量,可以由向量垂直的条件写出直线方程.对应直线Ax+By+C=0,它的方向向量为v=(-B,A),它的法向量为n=(A,B).【拓展训练】过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为()A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则 a,即(x-2)2+(y-3)1=0,即2x+y-7=
9、0.AP【补偿训练】经过点P(-2,0)且平行于a=(0,3)的直线方程为_.【解析】设M(x,y)为直线上任一点,则 a,所以3(x+2)=0,所以x=-2 答案:x=-2 PM类型三 平面向量在物理中的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力大小为 20 N,当它们的夹角为120时,合力大小为()A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N 2.在风速为75()km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞 行,求没有风时飞机的航速和航向.223623.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30,大小为50 N,一
10、个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g取10 m/s2)【思路导引】先把物理量转化为向量,再用向量法求解,最后再转化为物理量.【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示.(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.(3)结果还原为物理问题.【跟踪训练】两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求F1,F2分别对该质点做的功.1.已知ABC,0,则ABC的形状为()
11、A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.由已知得,A为钝角,故为钝角三角形.课堂检测素养达标 ABAC2.(教材二次开发:习题改编)已知三个力f1=(-1,-2),f2=(0,3),f3=(4,5)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4=()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(-3,-6)D.(3,6)【解析】选C.由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(-3,-6).3.在ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是()【解析】选B.BC中点为 所以|=.57A.2 5 B.5 C.3 5 D.52235D(6)AD(5)22，AD5524.(2020上饶高一检测)一个重50 N的物体从倾斜角为30,斜面上1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是_.【解析】W=Gs=|G|s|cos =501cos 60=25 J.答案:25 J 5.若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形 的面积为 ,求 与 的夹角 的取值范围.12
