1、习题课函数性质的综合应用课后训练巩固提升A组1.已知函数f(x)是R上的奇函数且是减函数,则f(1)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.可正可负D.无法判断解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为f(x)是R上的减函数,所以必有f(1)f(3)f(-2)B.f(-)f(-2)f(3)C.f(3)f(-2)f(-)D.f(3)f(-)f(-2)解析:f(x)是R上的偶函数,f(-2)=f(2),f(-)=f(),又f(x)在区间0,+)内单调递增,且23f(3)f(2),即f(-)f(3)f(-2).答案:A4.若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在R
2、上的减函数,则a的取值范围为()A.18,13B.0,13C.18,+D.-,1813,+解析:要使f(x)在R上是减函数,需满足3a-10,-a0,(3a-1)1+4a-a1,解得18a13.答案:A5.设奇函数f(x)在区间(0,+)内单调递减,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0的解集为()A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)解析:因为f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)x0,即f(x)x1时,f(x)0.由于奇函数的图象关于原点对称,所以在区间(-,0)内f(x)为减函数,且f(-1)=0,即x0.综上可
3、知,使f(x)x0的解集为(-,-1)(1,+).答案:C6.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=1x-1,则f(3)=.解析:f(x)+g(x)=1x-1,f(-x)+g(-x)=1-x-1.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,-f(x)+g(x)=-1x+1.2f(x)=1x-1+1x+1.令x=3,得2f(3)=12+14=34,f(3)=38.答案:387.已知函数f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,则f(-a)=.解析:根据题意,f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1,而h(x)=xx2+1是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h
4、(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-23=43.答案:438.若定义在R上的函数f(x)在区间(-,2)内单调递增,且f(x+2)的图象关于直线x=0对称,则f(-1)与f(3)的大小关系是.解析:因为函数f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1).又f(x)在区间(-,2)内单调递增,且-11,所以f(-1)f(1),即f(-1)f(3).答案:f(-1)f(3)9.设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是奇函数且f(x)在区间0,2上单调递减,
5、所以f(x)在区间-2,2上是减函数.所以不等式f(1-m)m,-2m2,-21-m2,解得-1m0时,0f(x)0时,0f(x)1,f(1)0,f(0)=1.令m=x0,则f(m+n)=f(0)=f(-x)f(x)=1,f(x)f(-x)=1.又当-x0时,0f(-x)1.对任意实数x,f(x)恒大于0.设任意x10,0f(x2-x1)1,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10,f(x)在R上是减函数.B组1.“0k2”是“函数f(x)=|x-1|,x2,kx-3,x0,2k-31,解得0k2.故“
6、0k2”是“函数f(x)=|x-1|,x2,kx-3,xb0,给出下列不等式:f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)b0,f(a)f(b)f(0)=0,g(a)g(b)0,且f(a)=g(a),f(b)=g(b),f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(b)+g(a)g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),成立,不成立.又g(b)-g(-a)=g(b)-g(a)0,成立,不成立.故选C.答案:C4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=.解析:设g(x)=x5+ax3+bx,
7、则g(x)为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.答案:-215.已知函数f(x)=x2+x,x0,ax2+bx,x0为奇函数,则a+b=.解析:由题意知f(2)=-f(-2),f(1)=-f(-1),即4a+2b=-2,a+b=0,解得a=-1,b=1.当a=-1,b=1时,经检验知,f(x)为奇函数,故a+b=0.答案:06.已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间(-,0上的单调性;(3)求函数
8、f(x)在区间-3,2上的最大值与最小值.解:(1)若函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即m(-x)+11+(-x)2=mx+11+x2,解得m=0.(2)由(1)知f(x)=11+x2.设任意的x1,x2(-,0,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=11+x12-11+x22=1+x22-1-x12(1+x12)(1+x22)=(x2+x1)(x2-x1)(1+x12)(1+x22).因为x1x20,所以x2+x10,(1+x12)(1+x22)0,所以f(x1)1时,f(x)0.(1)求f12的值;(2)判断y=f(x)在区间(0,+)内的单调性,并给
9、出证明;(3)解不等式f(2x)f(8x-6)-1.解:(1)因为对于任意x,yR都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.当x=2,y=12时,有f212=f(2)+f12,即f(2)+f12=0.又f(2)=1,故f12=-1.(2)函数y=f(x)在区间(0,+)内为增函数.证明如下:设0x11,所以fx2x10,即f(x2)f(x1),故f(x)在区间(0,+)内为增函数.(3)由(1)知,f12=-1,所以f(8x-6)-1=f(8x-6)+f12=f12(8x-6)=f(4x-3),于是f(2x)f(4x-3).因为f(x)在定义域(0,+)内为增函数,所以2x4x-3,4x-30,解得不等式的解集为x34x32.