1、课时作业14双曲线及其标准方程时间：45分钟基础巩固类一、选择题1若双曲线的一个焦点坐标为(0，2)，且经过点(3,2)，则双曲线的标准方程为(C)Ax21 By21Cy21 D1解析：由题意可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得a21，b23，故双曲线的标准方程为y21.2双曲线的方程为1，则它的两焦点坐标是(B)A(2,0) B(4,0)C(0，2) D(0，4)解析：由c2a2b210616，焦点又在x轴上，两焦点坐标为(4,0)3方程1表示双曲线，则k的取值范围是(A)A1k0Ck0 Dk1或k0，解得1k0，于是焦点都在x轴上，故有，解得m1.5已知方程ax2ay2b，且ab
2、0，则它表示的曲线是(C)A焦点在x轴上的双曲线 B圆C焦点在y轴上的双曲线 D椭圆解析：原方程可变形为1，即1.可知它表示焦点在y轴上的双曲线6双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(A)A22或2 B7C22 D2解析：a225，a5.设双曲线上一点为P，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|10，则|PF1|PF2|10，设|PF1|12，解得|PF2|22或2.7若F1，F2是双曲线8x2y28的两焦点，点P在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，则PF1F2的周长为(D)A17 B16C20 D16或20解析：双曲线8x2y28
3、可化为标准方程x21，所以a1，c3，|F1F2|2c6.因为点P在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|F1F2|6，或|PF2|F1F2|6，当|PF1|6时，根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a624，所以PF1F2的周长为66416；同理当|PF2|6时，PF1F2的周长为66820.8设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(A)A1 B1C1 D1解析：对于椭圆C1，长轴长2a126，a113，又离心率e1，c15.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，c25，又
4、2a28，a24，b23.又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为1.故选A二、填空题9已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为1.解析：令x0，得y24y80，方程无解即该圆与y轴无交点令y0，得x26x80，解得x2或x4，适合条件的双曲线a2，c4，b2c2a216412且焦点在x轴上，双曲线的标准方程为1.10已知1表示双曲线，则m的取值范围是m1.解析：由已知得(m1)(m2)0，解得m1.11如下图所示，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形
5、AF1BF2为矩形，则C2的方程是y21.解析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|a2，|AF1|2a，又四边形AF1BF2是矩形，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2(2)2，(2a)2(a2)212，解得a，则b2c2a2321，故双曲线C2的方程是y21.三、解答题12求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以，解得.故所求
6、双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则，解得.故所求双曲线的标准方程为1.13设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切求C的圆心轨迹L的方程解：依题意得两圆的圆心分别为F1(，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|42a3) D1(x4)解析：由条件可得圆与x轴的切点为T(3,0)，由相切的性质得|CA|CB|TA|TB|826，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，2a6,
7、2c10，a3，b4，所求的双曲线方程为1，且点C不在直线AB上15设有双曲线1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？解：设|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2)，F1MF2.(1)由双曲线方程知a2，b3，c，由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24SF1MF216，从而得52164SF1MF2，求得SF1MF29.(2)若F1MF2120，在MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|2rr2r1r2cos120，|F1F2|2(r1r2)23r1r2，r1r212，求得SF1MF2r1r2sin1203.