1、第4讲解析几何真题调研【例1】2019天津卷设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立得整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2
2、得yP，进而直线OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.【例2】2019全国卷已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.
3、从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.【例3】2019全国卷已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.()证明：PQG是直角三角形；()求PQG面积的最大值解：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)()设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(
4、u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形()由()得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.【例4】2019全国卷已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的
5、中点，求四边形ADBE的面积解：(1)设D，A(x1，y1)，则x2y1.由yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(
6、t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.模拟演练12019南昌二模已知椭圆C：1(ab0)，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2.(1)求椭圆C的方程；(2)当N，P，Q，M均不重合时，记，若1，求证：直线l的斜率为定值解：(1)因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2，所以a2，因此c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)设l：xtym(t0，m0)，则M(m,0)，N，kl.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)
7、，则，由得，x1x2，同理可得y1y2，两式相乘得，x1y1x2y2，又1，所以x1y1x2y2，所以(ty1m)y1(ty2m)y2，即t(yy)m(y2y1)，即(y2y1)mt(y1y2)0.由kl0，知y1y20，所以mt(y1y2)0.由得(t24)y22tmym240，所以y1y2，所以m0，又m0，所以t24，解得t2(t2舍去)，所以kl，即直线l的斜率为.22019济南模拟设M是抛物线E：x22py(p0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为yx1.(1)求E的方程(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和
8、C，D两点，是否存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)解法一：由消去y得x22px2p0.由题意得4p28p0，因为p0，所以p2.故抛物线E：x24y.解法二：设M，由x22py得y，则y.由解得p2.故抛物线E：x24y.(2)假设存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立，则.由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设直线l1的方程为ykx1(k0)，则由消去y得，x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|4(1k2)(也可以由y1y2k(x1x2)24k22，得到|AB|y1y2
9、24(1k2)因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|4.所以.所以存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立32019福建质检在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x1)2y21外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：AMB的面积是AMN的面积的四倍解：解法一：(1)设P(x，y)，依题意x0，F(1,0)因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|1.依题意得|PF|1x，即1x，化简得E的方程为y24x
10、(x0)(2)当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，舍去当直线AB的斜率存在时，如图，在平面直角坐标系中，设N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以x1x2，所以y1y2k(x11)k(x21)，故D.由抛物线的定义知|AB|x1x22.设M(xM，yM)，依题意得yM，所以|MD|xM.又|MD|，所以xM2，解得xM1，所以M.因为N在抛物线上，所以x0，即N，所以SAMB|MD|y1y2|y1y2|，SAMN|MN|y1yD|MN|y1y2|y1y2|
11、，故SAMB4SAMN.解法二：(1)设P(x，y)，依题意x0.因为P在圆F外，所以P到F上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点P到圆F(1,0)的距离|PF|等于P到直线x1的距离所以P在以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上，所以E的方程为y24x(x0)(2)如图，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线AB过F(1,0)，依题意可设其方程为xty1(t0)由得y24ty40.因为16t2160，所以y1y24t，则有x1x2(ty11)(ty21)4t22.因为D是AB的中点，所以D(2t21,2t)由抛物线的定义得|AB|(x11)(x21)4t24
12、.设与圆D相切于M，且平行于y轴的直线为l：xm，因为DM与抛物线相交于N，所以m0，且DMl，又|DM|AB|，所以2t21m(4t24)，解得m1.设N(x0，y0)，则y02t，所以(2t)24x0，所以x0t2.因为t2，所以N为DM的中点，所以SAMD2SAMN，又D为AB的中点，SAMB2SAMD，所以SAMB4SAMN.解法三：(1)同解法一(2)如图，在平面直角坐标系中，连接MF，NF，设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线AB过F(1,0)，依题意可设其方程为xty1(t0)由得y24ty40.因为16t2160，所以y1y24t，所以yMyD2t.因为|MD|，|AB
13、|x1x22，|MD|xM，所以xM，解得xM1，所以M(1,2t)所以kMFkAB1，故MFD90.又|NM|NF|，所以|NF|ND|，从而|MN|ND|，所以SAMNSAMD.又SAMDSAMB，所以SAMB4SAMN.42019郑州质量预测二在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2相切，点A为圆C1上一动点，ANx轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OT|的取值范围解：(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，
14、由于ANx轴于点N，N(x0,0)又圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2，即xy20相切，r2，圆C1：x2y24.由，得(x，y)(xx0，yy0)(x0,0)，即又点A为圆C1上一动点，x24y24，曲线C的方程为y21.(2)当直线PQ的斜率不存在时，可取直线OP的方程为yx，不妨取点P，则Q，T(，0)，|OT|.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，x1x2，x1x2.k1k2，4y1y2x1x20.4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2，m2.64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)16m20，设T(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|OT|2xy2，|OT|.综上，|OT|的取值范围为.