1、开封市2022届高三第二次模拟考试理科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设x，集合，若，则（）A. B. C. D. 【答案】C2. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D3. 设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（）A. B. C. D. 【答案】B4. 已知，则（）A. -7B. C. D. 7【答案】D5. 设A，F分别是双曲线C：一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A6. 溶液酸碱
2、度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（）（参考数据：lg20.301）A. 0.398B. 1.301C. 1.398D. 1.602【答案】D7. 已知公差为1的等差数列中，若该数列的前n项和，则n=（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】D8. 若x表示不超过x的最大整数，例如0.3=0，1.5=1.则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 102B. 684C. 696D. 708【答案】C9. 已知函数图象过点，现将y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P
3、，则（）A. 的最小值为2B. 的最小值为6C. 的最大值为2D. 的最大值为6【答案】A10. 已知（2，1）是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（）A. 有最小值4B. 有最小值8C. 有最大值8D. 有最大值16【答案】B11. 骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（）A. B. C. D. 【答案】B12. 如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正
4、四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（）A. B. C. D. 【答案】A二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知两个单位向量的夹角为，则_【答案】14. 在的展开式中，常数项为_.【答案】15. 若函数为奇函数，则不等式的解集为_.【答案】16. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为_海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为_平方海里.【答案】 . . 三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生
5、根据要求作答.17. 已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）18. 如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且三角形OPB是边长为的等边三角形，点G是DP的中点.（1）若G是DP的中点，求证：AGBD；（2）若，求GB与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）19. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）.（1）若l过点F且倾斜角为60，（M在第一象限），求C的方程；（2）若，直线SM，SN分
6、别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由.【答案】（1）（2）直线l恒过定点.20. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0p1），各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.（1）若，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为
7、4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示E（Y）；（ii）设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E（Y）.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为，.（2）（i）；（ii）当时，提高；当时，没有提高21. 已知函数.（1）当时，求在处切线与y轴的交点坐标；（2）已知，若时，恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）（2）22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数，）.（1）将参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；（2）已知点，分别为，与曲线相交所得弦中点，且的面积为，求的值.【答案】（1）的普通方程为；与的夹角为；（2）或.23. 已知，且abc=1.（1）求证：；（2）若a=b+c，求a的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）