1、第二讲函数的单调性与最值A组基础巩固一、单选题1下列函数在区间(0，)内是减函数的是(B)Af(x)ln xBf(x)exCf(x)Df(x)解析对于A，f(x)ln x，为对数函数，其底数e1，在区间(0，)内是增函数，不符合题意；对于B，f(x)exx为指数函数，其底数0Db3，f(x)log0.5(x1)log0.5(x3)log0.5(x1)(x3)，x3，令t(x)(x1)(x3)，则t(x)在(3，)上单调递增，又00.51的实数x的取值范围是(C)A(3，)B(，3)C2,3)D0,3)解析f(x)在定义域0，)上是减函数，且f(2)1，f(2x4)1可化为f(2x4)f(2)，
2、解得2xf(x)B对任意x1，x20，)，且x1x2，都有f(x1)f(x2)C对任意x1，x20，)，且x1x20，都有f(x1)f(x2)0解析根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x0，都有f(x1)f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x20，)，都有f(x1)f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x20，)，且x1x2 0，都有f(x1)f(x2)x2，若0，必有f(x1)f(x2)0，则函数在0，)上为增函数，符合题意9已知函数f(x)则下列结论正确的是(BC)Af(x)在R上为增函数Bf(e)f(2
3、)C若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a1或a0D当x1,1时，f(x)的值域为1,2解析易知f(x)在(，0，(0，)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a0或a10，即a1或a0，故C正确；当x1,0时，f(x)1,2，当x(0,1时，f(x)(，2，故x1,1时，f(x)(，2，故D不正确三、填空题10已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上不具有单调性，则实数a的取值范围为 (1,2) .解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，函数在(，a和a，)上都分别具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上不具有单调性，只需1af(a
4、3)，则正数a的取值范围是 (3，) .解析函数f(x)ln xx的定义域为(0，)，且为单调递增函数，f(a2a)f(a3)同解于解得a3.所以正数a的取值范围是(3，)四、解答题13(2022天水模拟)已知函数f(x)x22ax2，x5,5，(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解析(1)a1，f(x)x22x2(x1)21，因为x5,5，所以x1时，f(x)取最小值1，x5时，f(x)取最大值37.(2)f(x)的对称轴为xa；因为f(x)在5,5上是单调函数，所以a5，或a5，所以实数a的取值范围为(，55，)14
5、已知函数f(x).(1)试判断f(x)在1,2上的单调性；(2)求函数f(x)在1,2上的最值解析(1)解法一：任取x1，x21,2，且x1x2，则f(x2)f(x1)，x1，x21,2，2x231，2x131，1(x23)(x13)4，(x13)(x23)90，(x23)(x13)0，0，即f(x2)f(x1)f(x)在1,2上为减函数解法二：f(x)，f(x)，1x2，f(x)0”的可以是(AC)Af(x)Bf(x)(1x)2Cf(x)e1xDf(x)ln(x1)解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数，A中，f(x)满足要求；B中，f(x)(1x)2在(0,1上是减函数，在(1，)上是增
6、函数；C中，f(x)e1x是减函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数故选A、C.2设aR，函数f(x)在R上是增函数，则(C)Af(a2a2)fCf(a2a2)fDf(a2a2)f解析a2a22，又f(x)在R上是增函数，f(a2a2)f.3(2021赣州模拟)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是(B)A(，0B0,1)C1，)D1,0解析由题知，g(x)可得函数g(x)的单调递减区间为0,1)故选B.4(2022江西黎川县第一中学月考)已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足0(x1x2)，且f(2)8，则不等式f(x)4x0的解集为(A)A(2，)B(0,
7、2)C(0,4)D(4，)解析因为定义在(0，)上的函数f(x)满足：0，又000所以g(x)在(0，)上递增由f(2)8，可得g(2)4故f(x)4x040g(x)g(2)结合单调性，g(x)g(2)x2故不等式f(x)4x0的解集为(2，)故选A.5已知定义在(0，)上的函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调增函数；(3)若f1，求f(x)在上的最值解析(1)函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，则f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)证明：设x1，x2(0，)，且x1x2，则1，f0，f(x1)f(x2)ff(x2)f(x2)ff(x2)f0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(3)f(x)在(0，)上是增函数，若f1，则fff2，即ff(1)ff(5)0，即f(5)1，f(5)f(5)f(25)2，f(5)f(25)f(125)3，f(x)在的最小值为2，最大值为3.