1、第二章 圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1） （2） 其中二、讲解新课：1双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数
2、小于” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴 设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）则 ，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），化简，得：，由定义 令代入，得：，两边同除得：，
3、此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，其中若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在轴上，则焦点是，将互换，得到，此也是双曲线的标准方程3双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上
4、；项的系数是正的，那么焦点在轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值 （）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是解：是双曲线， ； 是双曲线， ；是双曲线， ； 是双曲线， 例2 已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,) 所求双曲线标准方程为 四、课堂练习：1求=4，=3，焦点在轴上的双曲线的标准方程 2求=2，经过点（2，-5），焦点在轴上的双曲线的标准方程 3证明：椭圆与双曲线的焦点相同 4若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5设双曲线上的点P到点的距离为15，则P点到的距离是（ ）A7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. ; 2. ;3. , ;4. D.表示焦点在轴上的双曲线,所以选D. 5. D. 7或23五、小结 ：双曲线的两类标准方程是焦点在轴上，焦点在轴上 有关系式成立，且 其中a与b的大小关系:可以为六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：
