1、2.3圆周运动的案例分析学习目标重点难点1会分析汽车、火车转弯时向心力的来源。2能应用牛顿第二定律和向心力公式分析实际问题。3能利用向心力知识分析竖直平面内的圆周运动。重点：分析水平面、竖直面内圆周运动。难点：分析圆周运动的向心力来源。一、分析游乐场中的圆周运动1受力分析（1）过山车在轨道顶部时要受到重力和轨道对车的弹力作用，这两个力的合力提供过山车做圆周运动的向心力。（2）当过山车恰好经过轨道顶部时，弹力为零，此时重力提供向心力。2临界速度（1）过山车恰好通过轨道顶部时的速度称为临界速度，记作v临界，v临界。（2）当过山车通过轨道最高点的速度v时，过山车就不会脱离轨道；当v时，过山车对轨道还
2、会产生压力作用。（3）当过山车通过轨道最高点的速度v时，过山车就会脱离轨道，不能完成圆周运动。预习交流1“水流星”是我国传统的杂技节目，演员们把盛有水的容器用绳子拉住在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作，容器中的水居然一滴也不掉下来。“水流星”的运动快慢与绳上的拉力的大小有什么关系？如果绳上的拉力渐渐减小，将会发生什么现象？答案：“水流星”转得越快，绳上的拉力就越大。若绳上的拉力减小，有可能使水流出来。二、研究运动物体转弯时的向心力1自行车转弯时要向转弯处的内侧倾斜，由地面对车的作用力与重力的合力作为转弯所需要的向心力。2汽车在水平路面上转弯时由地面的摩擦力提供向心力。3火车转弯时的向
3、心力由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供，其向心力方向沿水平方向。预习交流2飞行中的鸟和飞机要改变方向转弯时，鸟的身体或飞机的机身要倾斜，如图所示，这是为什么？答案：鸟或飞机转弯时需要向心力，只有当鸟身或飞机的机身倾斜时，它们所受空气对它们的作用力和重力的合力才能提供它们转弯需要的向心力。一、竖直面内的圆周运动实例分析1汽车过拱形桥桥顶时，可认为是圆周运动模型，那么汽车过拱形桥顶时动力学特点有哪些？答案：汽车在桥顶受到重力和支持力作用，如图所示，向心力由两者的合力提供。（1）动力学方程：由牛顿第二定律解得。（2）汽车处于失重状态汽车具有竖直向下的加速度，FNmg，对桥的压力小于重力。这也是为什
4、么桥一般做成拱形的原因。（3）汽车在桥顶运动的最大速度为。根据动力学方程可知，汽车行驶速度越大，汽车对桥面的压力越小，当汽车的速度为时，压力为零，这时汽车保持在桥顶运动的最大速度，等于或超过这个速度，汽车将离开桥顶，做平抛运动。2过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却掉不下来，试分析其原因。答案：当过山车在竖直平面内做圆周运动时，所需的向心力由重力和轨道的支持力来提供，当速度达到一定值时，所需的向心力大于重力，轨道对车要提供一定的支持力补充所需的向心力，即过山车压在了轨道上，所以过山车能安全通过轨道顶部。一辆质量m2.0 t的小轿车，驶过半径R90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度取g10
5、m/s2。求：（1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？答案：（1）2.89104 N（2）1.78104 N（3）30 m/s解析：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f.在竖直方向受到桥面向上的支持力FN1和向下的重力Gmg，如图所示。圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力FN1与重力Gmg的合力为FN1mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向FN1mg。由向心力公式知：解得桥面的
6、支持力大小为根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.89104 N。（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力Gmg和桥面向上的支持力FN2，如图所示。圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力Gmg与支持力FN2的合力为mgFN2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向mgFN2，由向心力公式知解得桥面的支持力大小为根据牛顿第三定律，汽车在桥的最高点时对桥面压力的大小为1.78104 N。（3）设汽车速度为vmax时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重
7、力Gmg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向mg，由向心力公式知解得：即汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。汽车通过凹形桥面时，桥面提供指向圆心的支持力，可视为轻绳模型；汽车通过凸形桥面时，桥面提供指向远离圆心的支持力，可视为轻杆模型，分析竖直面内圆周运动时要先确定是绳模型还是杆模型。轻绳模型、轻杆模型特点如下：（1）绳类：如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mgm，得v。在最高点时：v时，拉力或压力为零。v时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。v时，小球不能达到最高点。（实际上球未到最高点就脱离了轨道）即绳类的
8、临界速度为v临。（2）杆类：如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：v0时，小球受向上的支持力Nmg。0v时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小。v时，小球只受重力。v时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。即杆类的临界速度为v临0。注意：（1）在最高点，轻绳模型中物体的最小速度是，而杆模型中在最高点物体的最小速度是零。（2）绳模型中物体在最高点只可能受竖直向下的弹力，杆模型中物体在最高点可能受竖直向下的弹力，也可能受竖直向上的弹力。二、火车
9、转弯问题列车实际拐弯处的向心力怎样获得？其圆周运动的圆心在哪里？转弯速度与轨道侧压力有什么关系？答案：（1）向心力的来源分析在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan m，如图所示，则v0。其中R为弯道半径，为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。（2）圆周平面的特点弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。（3）速度与轨道侧压力的关系当火车行驶速度v时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。当火车行驶速度v时，轮缘对外轨有
10、侧压力。当火车行驶速度v时，轮缘对内轨有侧压力。火车做圆周运动的圆周平面是水平面，而不是斜面；火车做圆周运动的向心力沿水平方向指向圆心，而不是斜向下方。火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（）。A当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C当速度大于v时，轮缘挤压外轨D当速度小于v时，轮缘挤压外轨答案：AC解析：火车以规定速度行驶时，重力和支持力的合力提供向心力，A正确，B错误；当火车行驶速度大于规定速度时，重力
11、、支持力及外轨对轮缘的侧压力的合力提供向心力，故轮缘挤压外轨，C正确；当火车行驶速度小于规定速度时，重力、支持力及内轨对轮缘的侧压力的合力提供向心力，故轮缘挤压内轨，D错误。火车转弯问题的解题策略（1）对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。（2）弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。（3）当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。1在水平路面上安全转弯的汽车，向心力是（）。A重力和支持力的合力B重力、支持力和牵引力的合力C汽车与路面间
12、的静摩擦力D汽车与路面间的滑动摩擦力答案：C解析：汽车在水平路面上转弯时的向心力由汽车与路面间的静摩擦力提供，C正确。2关于在公路上行驶的汽车正常转弯时，下列说法中正确的是（）。A在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供B在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供C在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供D在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供答案：ACD解析：汽车在内外侧等高的水平公路上拐弯时，受重力、支持力和摩擦力。重力和支持力均在竖直方向，不能够提供向心力；向心力由摩擦力提供，由于轮胎与地面没有发生相对滑动，所
13、以应为静摩擦力。在内侧低、外侧高的公路上转弯时，由于支持力向内倾斜，所以可以由重力和支持力的合力提供向心力；若这二者的合力不能够恰好提供向心力，则需要借助摩擦力来共同提供向心力。3（2012广东理综）如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有（）。AN小于滑块重力 BN大于滑块重力CN越大表明h越大 DN越大表明h越小答案：BC解析：在B处由牛顿第二定律得：NGm，NGm，可见NG，由机械能守恒定律得：mghmv2，解得v，h越大，滑块到达B点的速度v越大
14、，N越大，选项B、C正确。4游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置坐椅对游客的作用力相当于游客重力的（）。A1倍 B2倍C3倍 D4倍答案：C解析：由牛顿第二定律可得（人的质量设为m）：Fmgma，代入数值解得F3mg，故选项C正确。5表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，若使绳子不断，节目获得成功，则：（1）杯子通过最高点时速度的最小值为多少？（2）通过最低点时速度的最大值为多少？答案：（1）（2）解析：（1）杯子恰好能通过最高点时的速度是通过最高点时速度的最小值，此时只有重力提供向心力，即，解得vmin。（2）在最低点时，设速度最大为vmax，则Fmg，解得vmax。
