1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)必备知识自主学习 1.两角和的余弦公式 导思(1)由两角差的余弦公式,怎样得到两角和的余弦公式呢?(2)如何根据两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式?简记符号公式使用条件C(+)cos(+)=_,Rcos cos-sin sin 2.两角和与差的正弦公式 名称简记符号公式使用条件两角和的 正弦公式S(+)sin(+)=_,R两角差的 正弦公式S(-)sin(-)=_,Rsin cos+cos sin sin cos-cos sin 【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()
2、(2)存在,R,使得sin(+)=sin +sin 成立.()(3)对于任意,R,sin(-)=sin -sin 都不成立.()(4)sin 56cos 26-cos 56sin 26=sin 30.()2.(教材二次开发:练习改编)sin 75cos 15-cos 75sin 15的值等于 ()【解析】选C.sin 75cos 15cos 75sin 15=sin 60=.1133A.B.C.D.2222323.计算sin =_.【解析】答案:7127sinsinsincoscossin12343434（）321262.22224624关键能力合作学习 类型一 求值问题(直观想象、数学运算)
3、角度1 给角求值 【典例】1.的值是()2.已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=_.2sin 40sin 20cos 2061A.3 B.C.1 D.22【思路导引】1.由sin 40=sin(60-20)套用两角差的正弦公式化简可求值.2.把两个已知条件分别平方,求和,利用两角和的正弦公式可得答案.2.因为(sin +cos )2+(cos +sin )2=1,所以sin2 +cos2 +cos2 +sin2 +2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.所以sin(+)=-.答案:-1212 角度2 给值求值 【典例】若sin cos
4、 且0 则 cos(+)的值为_.【思路导引】考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱 导公式.35,413 （）3,45 （）43,4【解析】因为0 所以 +,-0,又已知 sin cos 所以cos 所以cos(+)=sin =sin 答案:-43,433442435,413 （）3,45 （）3124,sin.41345 （）（）()2 3(44 ）（）33sin()cos()cos()sin(4444 ）5312433()().13513565 3365【解题策略】1.解决给角求值问题的策略.(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果
5、整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.2.解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.求解策略如下:(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.常见的角的代换关系有:=(+)-=-(-),=(+)+(-)=(+)-(-),等.1212
6、()(),222 ()()()442 【题组训练】1.化简:(1)=_.(2)sin 14cos 16+sin 76cos 74=_.sin 47sin 17 cos 30sin 732.已知、是锐角,且sin =,cos(+)=-,求sin 的值.【解析】因为、是锐角,且sin=,所以cos=0+C,求A的值.【思路导引】先依据条件确定所求角的范围,再确定该角的某个三角函数值,最 后确定角的大小.5()25，10()210，(022，)，(022，)，2 112cos Acos Ccos B，【解析】1.因为-所以0 C,则060,故A=60+,C=-=60-,故 AC2 ACAC22 AC
7、2 AC2 1111cos Acos Ccos(60)cos(60)222111313cossincossin2222coscos.133cossincos444 由题设有 整理得:4 cos2+2cos-3 =0.(2cos-)(2 cos+3)=0.因为2 cos+30,所以2cos-=0.所以cos=.故=45,A=60+45=105.2cos22 23cos Bcos4，22222222【解题策略】1.利用两角和与差的正弦、余弦公式解决给值求角问题的思路(1)确定角的范围.(2)求角的正弦或余弦值.(3)根据角的范围写出要求的角.2.在求角的正弦或余弦值时的选择原则(1)若所求角的范围
8、是 选正、余弦皆可.(2)若角的范围是(0,),选余弦较好.(3)若角的范围为 选正弦较好.(0 2，)，(2 2，)，【跟踪训练】1.在ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为 ()5A.B.6652C.D.6633或或2.若 其中 ,求+的值.13sin()sin()4242，4242类型三 辅助角公式的应用(逻辑推理、数学运算)【典例】1.下面能使f(x)=sin x-cos x取最大值的一个角为()2.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x.(1)求出f(x)的最大值、最小值.(2)求出f(x)的单调递增区间.3A.B.C.D.424
9、3【思路导引】首先把题目中的三角函数式化为y=Asin(x+)的形式,然后再 求最值、单调区间.2.f(x)=(1)当2x+=2k+,kZ,即x=k+,kZ时,f(x)取得最大值2;当2x+=2k-,kZ,即x=k-,kZ时,f(x)取得最小值-2.(2)由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为 13sin 2x3cos 2x2(sin 2xcos 2x)222(sin 2xcoscos 2xsin)2sin(2x).333321232512232512125kkkZ.1212，【解题策略】对于形如y=sin cos ,y=sin cos 的三角函数式均
10、可利用特 殊值与特殊角的关系,运用角的和差的正、余弦公式化简为含有一种三角函数 的形式.3【跟踪训练】1.cos -sin 化简的结果可以是()【解析】选B.cos -sin =2 31A.cos()B.2cos()2631C.cos()D.2cos()236 313(cossin)22 2(cos cossin sin)2cos().333 2.函数f(x)=sin x+cos x,x 的最小值为()A.2 B.-C.-D.1【解析】选D.f(x)=sin ,因为0 x ,所以 x+,sin 1,所以f(x)的最小值为1.3302，2(x4)2443422(x4)【拓展延伸】辅助角公式:as
11、in x+bcos x=sin(x+)(或asinx+bcosx=cos(x-),其中sin =cos =(或cos =sin =).推导过程:asin x+bcos x 令cos =则asin x+bcos x=(sin xcos +cos xsin )=sin(x+).22ab22ab22bab，22aab22aab22bab，222222abab(sin xcos x)abab，2222ab,sinabab，22ab22ab【拓展训练】若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是()A.(0)B.()44 233C.()D.()244，【补偿训练】
12、将下列各式写成Asin(x+)的形式.(1)sin x-cos x;(2)326sin(x)cos(x).44441.化简:sin 21cos 81-cos 21sin 81等于()A.B.-C.D.-【解析】选D.原式=sin(21-81)=-sin 60=-.课堂检测素养达标 12321232322.(2020太原高一检测)满足cos cos =+sin sin 的一组、的值是()【解析】选A.由已知可得cos(+)=,代入检验知A满足.32133A.B.12423C.D.2636，323.定义运算 =ad-bc,若cos =,=,0 ,则 等于()A.B.C.D.173 3142126434.(教材二次开发:练习改编)若cos =则cos =_.【解析】因为cos=-,所以sin=所以 答案:-5()132，513()6()2，225121cos1)1313(，cos()cos cossin sin666531215 3 12.132132265 3 12265.sin 15-cos 15=_.【解析】sin 15-cos 15=2sin(15-60)=-2sin 45=-.答案:-3232