1、2.4等比数列(1)课前预习 温故知新学前温习1等差数列的定义:从 起，每一项与其前一项的差 的数列，称为 .2等差数列的通项公式： ，是关于n的 .3指数型函数 .新课感知1等比数列的定义如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示2等比数列的递推公式与通项公式递推公式 通项公式 3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 ，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式 .课堂学习 互动探究知识精讲1对等比数列的概念的理解(1)每一项与它前一项的比是同一个常数，即，具备任意性；同时概念给出了等比数列
2、任意相邻两项的递推关系：，(2)每一项与它前一项的比是同一个常数，强调的是同一个；(3)对于公比q，它是每一项与它前一项的比，是有序的，也正是这种有序才决定q的确定性；(4)公比q0这是必然的，也就是不存在q0的等比数列还可以理解为在等比数列中，不可能存在数值为0的项(5)由等比中项的定义可知：G2abG.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数异号的两数没有等比中项反之，当时，若G2ab，则，即a，G，b成等比数列 2对等比数列通项公式的理解(1)通项公式的推导方法归纳法（见课本）累乘法：由等比数列的定义得到：将这个式子等号两边分别相乘，可得到。迭代法：
3、由等比数列的定义：，故。(2)在等比数列的通项公式中有四个量，q，n，只要知道其中的三个量，就可以求出另一个量(3)等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列的通项公式qn1，可以整理为，当q0且q1时，yqn是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积,是一个指数型函数，因此，数列an即中的各项所表示的点(n，kqn) 离散地分布在函数ykqx(xR)的图象上，是函数 的图象上的一群孤立点,所以可以借助指数函数yqx(q0且q1)的性质来研究等比数列.(4)等比数列的单调性设等比数列an的首项为a1，公比为q，当q1，a10或0q1，a10时，数列an为递增数列；当q1，a10或0q1
4、，a10时，数列an为递减数列；当q1时，an是常数列；当q0时，an是摆动数列，正负项间隔出现，即奇数项必同号，偶数项也同号。3等比数列的判定方法（1）定义法：q(q为非零常数，nN*)an是等比数列；(2)通项法：ancqn(c，q为非零常数，nN*)an是等比数列；(3)等比中项法：(,是等比数列课堂点拨 1、已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解析：(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)
5、，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3a q2)，得aq24aq3a10，(*)由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.【点拨】等比数列中的最基本的量是首项a1和公比q，在解题中要根据已知条件建立关于a1，q的方程或者方程组，从而建立其a1，q的关系式或者是求出a1，q，方程思想在解决等比数列问题中占有重要位置 2、 已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN*.(1)证明：an1是等比数列；(2)求数列Sn的通项
6、公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n.解析： (1)由已知得S115a185a1，a114，当n2时，Snn5an85，Sn1(n1)5an185，两式相减得6an5an11，变形得an1(an11)，又a11150，故是首项为15，公比为的等比数列(2)由(1)知an115n1，得an115n1，从而Sn75n1n90(nN*)； 由Sn1Sn得n1log114.9，故最小正整数n15.点评 当已知是含有，Sn的混合关系式时，一般是把它们转化为只含有一种类型的关系式，再通过变换这个关系式进行转化证明一个数列是等比数列的基本方法是根据其定义，即证明.当堂达标1在等比数列an中，a18，
7、a464，则公比q为( )A2 B3 C4 D82、某种细胞每隔20分钟分裂一次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过3小时20分钟后，可得到的细胞个数为 （ ）A. 512 B. 1024 C. 511 D. 10233已知等比数列中，则 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an( )A(2)n1 B(2)n1 C(2)n D(2)n5.公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为（ ）A1 B2 C3 D46若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为_7已知等比数列中，则 8.已知数列an的前n项和为Sn，Sn
8、(an1)(nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列9在等比数列an中，a2，a627，求an的通项公式10. 等比数列 的前三项的和为168， a2a542，求a5，的等比中项学后复习自主测评 感悟探究（七）（时间30分钟 ）1等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是( )A4 B4 C D.2.设=2,数列 是以3为公比的等比数列，则a4的值为 （ ） A.80 B.81 C.54 D.533已知等差数列1，等比数列3，则该等差数列的公差为 （ ） A3或 B3或 C3 D-34. 数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6( )A344
9、 B3441 C44 D4415. 已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为( )A110 B90 C90 D1106.已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.7.在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.8. 已知数列an的首项a1，an1，n1,2,3，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式9.在等比数列an中，(1) 3， 27，求；(2) ，an1，求.10.设数列的前n项和为Sn,已知=1，. （1）设，证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式.2.4等
10、比数列第一课时等比数列的概念及通项公式当堂达标1、A 2、 B 3、C 4、A 5、 C 6、4 7、 64或1 8、解析： (1)由S1(a11)，得a1(a11)，a1. 又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)， 得，所以an是首项为，公比为的等比数列9、解析： 方法一：设等比数列an的公比为q，由已知得解得或an的通项公式是an3n1或an(3)n1.即an3n3或an(1)n13n3.方法二：a6a2q4，27q4，q481，q3，据ana2qn2，有an3n2或an(3)n2， 即an3n3或an(1)n13n3.1
11、0、解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2a542，所以q1，由已知，得，所以因为1q3(1q)(1qq2)，所以由除以，得q(1q).所以q.所以a196.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6a12q10962109.所以a5，a7的等比中项是3.感悟探究（七）1、选A 解析： 由an2n12n4知a41，a824，其等比中项为4.2、选A 解析 由已知得=(+1)qn-1, 即=33n-1=3n, =3n-1，=34-1=80.3、选C 解析：依题意得1+b=2a，(a+2)2=3(b+5),联立解得a= -2， b= -5（舍）或a=4， b=7，所
12、以，则该等差数列的公差为3，选择C；4、选A 解析：由an13SnSn1Sn3SnSn14Sn，所以数列Sn是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn4n1，所以a6S6S54544344，所以选择A.5、选D 解析： 由aa3a9，d2，得(a112)2(a14)(a116)，解之得a120，S101020(2)110.6、答案2 解析： an为等比数列，所以a4a3a2q2a2q4，即2q22q4，所以q2q20，解得q1或q2，又an是递增等比数列，所以q2.7、an4n1 解析：a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n1.8、解析：an1，1，又a1，1，数列是以为首项，为公比的等比数列，此时1，即1，an.9、解析： (1)a3a1q2273q2，q3.an33n1或an3(3)n1(2)方法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.方法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.10、解析：（I） 由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得， 数列是首项为，公差为的等差数列 ，
