1、第5节指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用知 识 梳 理1根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其
2、中a0，b0，r，sQ.3指数函数及其性质(1)概念；函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y1在(，)上是增函数在(，)上是减函数常用结论与微点提醒1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较3指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)4.
3、()(2)(1)(1).()(3)函数y2x1是指数函数()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，)()解析(1)由于4，故(1)错(2)(1)1，故(2)错(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)，故y2x1不是指数函数，故(3)错(4)由于x211，又a1，ax21a.故yax21(a1)的值域是a，)，(4)错答案(1)(2)(3)(4)2(必修1P52例5改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9 B7C10 D9解析原式(26)1817.答案B3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析根据指数函
4、数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.61，ba0，且a1)的图象可能是()解析函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.答案D5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_解析由题意知02a1，解得1a0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.解(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能
5、相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数【训练1】 化简求值：(1)22(0.01)0.5；(2).解(1)原式111.(2)原式ab.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析(1)f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)的值域为(，0，因此排除B，C，D，只有A满足(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，
6、则b应满足的条件是b1，1答案(1)A(2)1，1规律方法(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解【训练2】 (1)(2018福建五校联考)定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()(2)方程2x2x的解的个数是_解析(1)因为当x0时，2x1；当x0时，2x1.则f(x)12x图象A满足(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此
7、该方程只有一个解答案(1)A(2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示)【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)已知函数f(x).若a1，求f(x)的单调区间；若f(x)有最大值3，求a的值；若f(x)的值域是(0，)，求a的值(1)解析A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.25
8、0.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误故选B.答案B(2)解当a1时，f(x)，令ux24x3(x2)27.在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)令h(x)ax24x3，y，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调
9、性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论【训练3】 (1)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0时，f(x)0，从而g(x)xf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，ag(log25.1)g(log25.1)，2082，又45.18，则2log25.13，所以020.8log25.13，g(20.8)g(log25.1)g(3)，所以bac，故选C.(2)当x8时，f(x)x3，x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8.综上，x(，27答案(1)C(2)(，27