1、第5节函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知 识 梳 理1“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(
2、x)在R上的图象2函数yAsin(x)中各量的物理意义当函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)ATfx3.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径常用结论与微点提醒1由函数ysin x的图象经过变换得到yAsin(x)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体若0，要先根据诱导公式进行转化3求函数yAsin(x)在xm，n上的最值，可先求tx的范
3、围，再结合图象得出yAsin t的值域诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()解析(1)将函数y3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y3cos 2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位
4、长度为.故当1时平移的长度不相等答案(1)(2)(3)(4)2y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，解析振幅A2，频率f，初相.答案A3(2018宁波十校适应性考试)将函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx解析由题意可得ysin的图象向左平移个单位长度得到的函数图象对应的解析式为ysincos，令2xk，kZ，故x，kZ，结合选项，当k1时，x，故选A.答案A4(2016浙江卷)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关
5、D与b无关，但与c有关解析因为f(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中当b0时，f(x)c，f(x)的周期为；b0时，f(x)的周期为2，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.答案B5(2018嘉兴测试)函数f(x)2sin(x)的图象如图所示，则_，_解析由题中图象知T，2，把(0，1)代入f(x)2sin(2x)，得12sin ，sin ，|，.答案26.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0，0，0)，则这段曲线的函数解析式为_解析从图中可以看出，从614时是函数yAsin(x)b的半个周期，又146，所以.
6、由图可得A(3010)10，b(3010)20.又102，解得，y10sin20，x6，14答案y10sin20，x6，14考点一函数yAsin(x)的图象及变换【例1】 设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到解f(x)sin xcos x22sin，又T，即2，f(x)2sin.(1)令z2x，则y2sin2sin z.列表，并描点画出图象：xz02ysin z01010y2sin02020(2)法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，
7、得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二将ysin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y2sin的图象规律方法作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，
8、2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【训练1】 设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象解(1)T，2，又fcos，sin ，又0，.(2)由(1)得f(x)cos，列表：2x0x0f(x)1010描点画出图象(如图)考点二由图象求函数yAsin(x)的解析式【例2】 (1)(2018绍兴检测)函数f(x)2sin(x)，的部分图象如图所示，则_，_(2)(一题多解)函数f
9、(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_解析(1)由题图可知，得2.又函数过点，f(x)2sin(2x)，故22k，kZ，得2k，kZ，.(2)由题图可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2，所以，故f(x)sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)sin.答案(1)2(2)f(x)sin规律方法已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)五点法，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象
10、上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求【训练2】 (1)(2016全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)已知函数g(x)sin2xcos2x，如图是函数f(x)Asin(x)的部分图象，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度解析(1)由题图可知，A2，T2，
11、所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin，故选A.(2)设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知A1，T，所以2.因为f1，所以22k，kZ，又|，所以，f(x)sin.将g(x)sin2xcos2xcos 2xsin的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为ysinsin.答案(1)A(2)B考点三yAsin(x)图象与性质的综合应用【例3】 (2018浙江五校联考)已知函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解(1)f(x)(sin xcos x)(cos x
12、sin x)sin xcos xsin2xcos2x3sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以，函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由f(x0)2sin，得sin，又x0，所以2x0，所以cos，所以cos 2x0cos.规律方法函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把x看作一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想【训练3】 已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解(1)f(x)2sincossin(x)cos xsin x2sin，于是T2.(2)由已知得g(x)f2sin，x0，x，sin，g(x)2sin1，2，故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.