1、题组训练78 两个计数原理1有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A21种B315种C143种 D153种答案C解析可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9763种；二类：语文、英语各1本，共有9545种；三类：数学、英语各1本，共有7535种；共有634535143种不同选法2(2017武汉市二中月考)从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是()A10 B15C20 D25答案D解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5525(种)3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求
2、有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A24种 B30种C36种 D48种答案D解析共有432248(种)，故选D.45名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是()A35 B53CA32 DC53答案A解析第n名应届毕业生报考的方法有3种(n1，2，3，4，5)，根据分步计算原理，不同的报名方法共有3333335(种)5(2018沧州七校联考)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种 B18种C37种 D48种答案C解析自由选择去四个工厂有43种方法，
3、甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有433337种6某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A42 B30C20 D12答案A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6742(种)7(2018绵阳二诊)小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他，一共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个，则梨子的不同分法共有()A
4、96种 B120种C480种 D720种答案C解析由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个的拿法有C414种，其余人的拿法有A55120种，故梨子的不同分法共有4120480种8从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A5 B4C6 D8答案D解析分类考虑，当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8，当公比为3时，可为1，3，9，当公比为时，可为4，6，9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有428个9(2014安徽，理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的
5、共有()A24对 B30对C48对 D60对答案C解析先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线AC成60角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60角的面对角线也有8条因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对又正方体共有6个面，所以共有16696(对)又因为每对被计算了2次，因此成60的面对角线有9648(对)10(2018定州一模)将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的44小方格中，每格内只填入一个汉字，且
6、任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写办法有()A.288种 B144种C576种 D96种答案C解析依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有1694576种11.(2018福建福州闽侯二中期中)把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()A2 680种 B4 320种C4 920种
7、 D5 140种答案B解析由题图可知7个点可组成的三角形有C73530个，三盆兰花不能放在一条直线上，可放入三角形的三个顶点上，有C301A33180种放法，再放4盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余4个位置，有A4424种放法，不同的摆放方法有180244 320种12已知I1，2，3，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A，B共有()A12对 B15对C18对 D20对答案D解析依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素
8、时，有3对；共20对，选择D.13(2017邯郸一中模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A18个 B15个C12个 D9个答案B解析依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成有3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成有6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成有3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成有3个数，分别为211，121，112，共363315个14直线方程AxBy0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任
9、取两个不同的数作为A，B的值，则可表示_条不同的直线答案22解析分成三类：A0，B0；A0，B0和A0，B0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5420种所以可以表示22条不同的直线15由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有_个答案162解析一位数8个，两位数8972个3位数1有9981个，另外21个(即200)，共有872811162个16某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是_种(用数字作答)答案266解析分两类：第一类，买5本2元的有C85种；第二类，买4本2元
10、的和2本1元的有C84C32种故共有C85C84C32266种不同的买法种数17(2017东北三校联考)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足ab，且a，b都是集合1，2，3，4，5，6中的元素，又点P到原点的距离|OP|5，则这样的点P的个数为_答案20解析依题意可知：当a1时，b5，6，两种情况；当a2时，b5，6，两种情况；当a3时，b4，5，6，三种情况；当a4时，b3，5，6，三种情况；当a5或6时，b各有五种情况所以共有22335520种情况18标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球(1)若
11、取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？答案(1)11(2)4解析(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个，或B，C袋中各取一个应有12132311种(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个应有134种19三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案36个解析设较小的两边长为x、y且xy，则当x1时，y11；当x2时，y10，11；当x3时，y9，10，11；当x4时，y8，9，10，11；当x5时，y7，8，9，10，11；当x6时，y6，7，8，9，10，11；当x7时，y7，8，9，10，11；当x
12、11时，y11.所以不同三角形的个数为1234565432136个1如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920答案A解析当中间数为2时，有122个；当中间数为3时，有236个；当中间数为4时，有3412个；当中间数为5时，有4520个；当中间数为6时，有5630个；当中间数为7时，有6742个；当中间数为8时，有7856个；当中间数为9时，有8972个故共有26122030425672240个凸数2从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对
13、数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A56 B54C53 D52答案D解析在8个数中任取2个不同的数共有8756个对数值；但在这56个数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，即满足条件的对数值共有56452个3(2017山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为()A70 B60C50 D40答案C解析C62C63C6450，故选C.4从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A32个 B34个C36个 D38个答案
14、A解析先把数字分成5组：1，10，2，9，3，8，4，7，5，6，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2222232个这样的子集5某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A1 205秒 B1 200秒C1 195秒 D1 190秒答案C解析要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不
15、重复地依次闪烁一遍而所有的闪烁共有A55120个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是120(55)51 195秒6若从集合P到集合Qa，b，c所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A32个 B27个C81个 D64个答案D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得PQ的映射种数为3x81，可得x4.反过来，可得QP的映射种数为4364.7.(2018山东日照模拟)将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右
16、，每一列从上到下分别依次增大当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A6种 B12种C18种 D24种答案A解析因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后之相邻的空格可填6，7，8任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法共有236种结果，故选A.8(2018郑州市市高三第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A72 B120C192 D240答案D解析将“数字124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有60种情况；(2)若末位数字
17、为6，同理有60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有54321120种情况综上，共有6060120240种情况9.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种答案180解析按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选由分步乘法计数原理，可得共有5433180种不同的涂色方法10.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有_种答案30解析由题意知每种颜色涂两个圆，共有5类，每类A33种涂法，所以总数为5A3330.注：将六圆依次编号，可分如下5类：，.11现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有_种不同的排法答案1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有544441 280种不同的排法