1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十)等差数列(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等差数列an中,2a4+a7=3,则数列an的前9项和等于()A.3B.6C.9D.12【解析】选C.设等差数列an公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理得a1+4d=1,即a5=1,所以S9=9a5=9.故选C.【加固训练】(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2【解析】
2、选A.由S8=4a38a1+d=4(a1+2d);由a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.(2015合肥模拟)已知数列an的前n项和为Sn,并满足:an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=()A.7B.12C.14D.21【解析】选C.由an+2=2an+1-an,得2an+1=an+2+an,故数列an为等差数列.又a5=4-a3,所以2a4=a3+a5=4,所以a4=2,所以S7=7a4=14.故选C.3.数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1-an(nN*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A
3、.0B.3C.8D.11【解析】选B.因为bn是等差数列,且b3=-2,b10=12,故公差d=2.于是b1=-6,且bn=2n-8(nN*),即an+1-an=2n-8.所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.4.(2015芜湖模拟)在等差数列an中,a1=1,a6=2a3+1,对任意的n,设Sn=a1-a2+a3-a4+(-1)n-1an,则满足S2k+135的最小正整数k的值等于()A.16B.17C.18D.19【解析】选C.设等差数列an的公差为d,因为a1=1,a6=2a3+1,所以a1=1,d=2,an=2n-1
4、,所以Sn=1-3+5-7+(-1)n-1(2n-1),所以S2k+1=S2k+ (-1)2k+1-1a2k+1=-2k+(-1)2ka2k+1=-2k+2(2k+1)-1=-2k+4k+1=2k+135,所以2k34,所以k17,所以最小正整数k的值为18.【加固训练】已知等差数列an中,|a3|=|a9|,公差dS6B.S5S6C.S6=0D.S5=S6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选D.因为d0,a90,a70);则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20;由(a+a+d+a+2d)=a
5、-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d);所以24d=11a,所以d=;所以,最小的1份为a-2d=20-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在等差数列an中,若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,则n=_.【解析】依题意知a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67.由等差数列的性质知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以4(a1+an)=88,所以a1+an=22.又Sn=,即286=,所以n=26.答案:267.(2015宝鸡模拟)已知数列an满足a1=1,an0,-=1(nN*),那么使a
6、n0,所以an=.因为an5,所以5,即n25,故n的最大值为24.答案:24【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得Sn的最值.(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和Sn的最值和Sn的符号.【加固训练】在数列an中,a1=-18,an+1=an+3(nN*),则数列an的前n项和Sn的最小值为_.【解析】由an+1=an+3知an是等差数列,首项为-18,公差为3,所以an=-21+3n.当n=7时,a
7、n=0,当n6时,an成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)an+1=,=-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)(-1)=-(n+1),所以an=.(2)bn=-1=,令Cn=B3n-Bn=+,所以Cn+1-Cn=+-=-+=-+-=0,所以Cn+1-Cn0,所以Cn为单调递增数列,所以(B3n-Bn)min=B6-B2=+=,所以,所以m0,所以a3=5,a5=9,公差d=2.所以an=a3+(n-3)d=5+(n-3)2=2n-1.(2)因为anan+1bn=1.所以bn=,所以Sn=b1+b2+bn=.【加固训练】已知数列an,anN*,S
8、n=(an+2)2.(1)求证:an是等差数列.(2)设bn=an-30,求数列bn的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)因为Sn=(an+2)2,所以Sn-1=(an-1+2)2(n2).-得Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2(n2),即an=(an+2)2-(an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2,所以an+an-1=0或an-an-1=4.因为anN*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以an是首项为2,公差为4的等差数列.(2)bn=an-30=(4n-2)-30=2n-
9、31.bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=2-30=-29.所以bn是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.Tn=nb1+d=-29n+2=n2-30n.所以Tn=(n-15)2-225.当n=15时,数列bn的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)定义:同时满足下列两个条件的数列an叫做“上凸有界数列”.an+1;anM,M是与n无关的常数.(1)若数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1,试判断数列an是否为上凸有界数列.(2)若数列bn是等差数列,Tn为其前n项和,且b3=4,T3=18,试证明:数列Tn为上凸有界数列.【
10、解析】(1)n=1时,a1=S1=2-1=1,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.所以an=2n-1.显然an=2n-1是递增的,故不存在常数M,使anM成立,即不满足条件,an不是上凸有界数列.注:验证条件不成立也可.(2)设bn的公差为d,则解得b1=8,d=-2.所以Tn=nb1+d=8n+(-2)=-n2+9n.因为-Tn+1=-10,所以Tn+1,即Tn满足条件;又Tn=-n2+9n=-+,当n=4或5时,Tn取得最大值20,即Tn20,满足条件,综上,Tn为上凸有界数列.【加固训练】(2015黄山模拟)已知数列an是等差数列,且a2+a5=19,a3+a6=25.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列an-bn是首项为2,公比为2的等比数列,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由整理得解得所以an=3n-1.(2)因为数列an-bn是首项为2,公比为2的等比数列,所以an-bn=2n,所以bn=3n-1-2n,所以数列bn的前n项和Sn=-=-2n+1.关闭Word文档返回原板块