1、第12课时基本不等式的应用(2) 教学过程一、 数学运用【例1】已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值.(见学生用书课堂本P63)处理建议学生思考、交流,教师注意从多角度分析解决此题.规范板书解法一 x, y都是正数, +2=2,当且仅当=,即x=y=1时取“=”. 当x=y=1时,+取最小值2.解法二(消元法) xy=1, =x. x为正数, +=+x2=2,当且仅当=x,即x=y=1时取“=”. 当x=y=1时,+取最小值2.题后反思求最值问题时,经常会遇到二元求最值问题,如果在分析题目时,能发现“和定”或“积定”的条件,可以直接利用基本不等式;但如果不能发现我们所需要的条件时,常用的
2、方法是消元,将二元问题转化为一元问题来解决.变式已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值.规范板书解 x, y都是正数, +2=2,当且仅当=,即时取“=”. 当时,+取最小值2.【例2】(教材P106复习题第16题)若正数x, y满足x+2y=1,求+的最小值.(见学生用书课堂本P63)规范板书解 x0, y0,且x+2y=1, +=+=1+2+=3+3+2,当且仅当即时取“=”. 当x=-1, y=时,+取最小值3+2.题后反思充分利用题中的条件x+2y=1,巧妙地构造了, ,从而利用基本不等式就可以解决!从这里可以看出,我们变形的目的往往是构造互为倒数的两个式子.另外,+=+在题中是将
3、分子上的“1”做了一个整体代换,其实也可以换种思路:+=1=(x+2y).变式已知正数x, y满足+=1,求x+y的最小值.规范板书解 x, y是正数,+=1, x+y=(x+y)=5+5+2=9,当且仅当=,即时取“=”. 当时,x+y取最小值9.【例3】若x0,y0,且x+y=xy,求x+2y的最小值.(见学生用书课堂本P64)规范板书解法一由x+y=xy得x=. x0, y0, y1. x+2y=+2y=1+2y=2(y-1)+32+3=3+2,当且仅当即时取“=”. 当时,x+2取最小值3+2.解法二由x+y=xy得+=1. x0, y0, x+2y=(x+2y)=3+3+2,当且仅当
4、即时,取“=”. 当时,x+2y取最小值3+2.题后反思变形往往能给我们解题提供意想不到的方法,因此在平时的学习中,我们对题目的变形特征要多加留意.变式设0x1,求+的最小值.规范板书解 0x0. +=x+(1-x)=2+2+2=4,当且仅当=,即x=时取“=”. 当x=时,+取最小值4.*【例4】(教材P100例3)过点(1, 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A, B两点,当AOB的面积最小时,求直线l的方程.规范板书解设点A(a, 0), B(0, b)(a, b0),则直线l的方程为+=1.由题意知点(1, 2)在直线l上, +=1.由基本不等式得1=+2, ab8,当且
5、仅当=,即时取“=”. SAOB=ab4. 当AOB的面积最小时,直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0.题后反思将实际问题转化为数学问题,解题时,一定要注意题目中的条件约束,同时要准确把握目标函数,巧妙运用不等式解决数学问题.二、 课堂练习 1. 函数y=x+的值域为y|y4或y-4. 2. 函数y=sinx+(0x1,且b1,若a+b=6,则(a-1)(b-1)的最大值是4. 4. 已知正数a, b满足ab=2,则(a+2)(2b+1)的最小值是6+4.三、 课堂小结 1. 基本不等式及其应用条件. 2. 基本不等式最值定理及其应用条件. 3. 常见的变形:拆、凑、代;变形的目标:积定或和定.
