1、专题13 排列组合与二项式定理一、选择题部分1.(2021河南开封三模理T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A126B360C600D630【答案】D【解析】第一类，上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A42360种，第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，乙，故有A62A41A21240第三类，上下午共安排2个活动，（上午
2、1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A6230种，根据分类计数原理，共有360+240+30630种2.(2021河南开封三模理T6)（ax）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a（）A4B3C2D1【答案】B【解析】（ax）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，设f（x）（ax）（x+1）6a0+a1x+a2x2+a6x6+a6x7，令x1，则f（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7（a+1）（11）564（a1），令x1，则f（1）a0a1+a2a3+a4a5+a6a7（a1）（11）50；得，2（a1+a3+a5+a7）64（a1），a
3、1+a3+a5+a732（a1）64，解得a33.(2021河南焦作三模理T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（）A24种B36种C48种D64种【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C32种分组方法，若甲乙两人与另外一人在同一组，有C31种分组方法，则有C31+C326种分组方法；将分好的三组全排列，对应A、B、C三个小区，有A336种情况，则有663
4、6种不同的派遣方案4.(2021河北张家口三模T7)（x+2y3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（）A32B16C10D64【答案】A【解析】在（x+2y3z）7的展开式中，通项公式为若展开式中的项不含y，则r65展开式中的所有项令xz1，得这些项的系数之和为（3）5325.(2021江西上饶三模理T10)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（）A78B126C148D150【答案】D【解析】根据题意，分2步进行分析：将6本书分为3组，要求语文和数学在同一组，若分为
5、2、2、2的三组，有C423种分组方法，若分为3、2、1的三组，有C41+C41C3216种分组方法，若分为4、1、1的三组，有C426种分组方法，则有3+16+625种分组方法；将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有A336种情况，则有256150种安排方法6.(2021重庆名校联盟三模T5)已知（2x2+1）（1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（）A10B7C9D10【答案】C【解析】（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a1）50，a1，则（）5，即，它的展开式的通项公式为Tr+1（1）rx2r10，令2r102，求得r4；令2r100，求得r5，故（2x2+1）（
6、）5（2x2+1）（1）5的展开式中常数项是 297.(2021辽宁朝阳三模T8)在三棱柱ABCA1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（）ABCD【答案】B【解析】在三棱柱ABCA1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数n36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：m+26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P8.(2021辽宁朝阳三模T6)下列各项中，是（）6展开式中的项为（）A15B20x
7、2C15y4D20【答案】C【解析】（）6展开式的通项公式为Tr+1（1）r，由0且0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；由2且0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；由0且4，此时r2，故T3（1）2y415y4，故C正确；由0且，此时r无解，故展开式中不含项，故D错误9.(2021湖南三模T9)在（3x）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（）A二项式系数和为64B各项系数和为64C常数项为135D常数项为135【答案】ABD【解析】（3x）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为 2n+2n128，n6，故二项式系数和为2664，二项式系数和之和为
8、 2n2664，故A、B正确；故展开式的通项公式为Tr+1（1）r36r，令60，求得r4，故常数项为32135，故D正确10.(2021福建宁德三模T7)周髀算经是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给右图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为()A. 36B. 48C. 72D. 96【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：对于区域ABE，三个区域两两相邻，有A43=24种涂色的方法，对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，若C区域与
9、A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，则区域CD有2+1=3种涂色的方法，则有243=72种涂色的方法，故选：C.根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。11.(2021安徽宿州三模理T6)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施高三年级一层楼有A、B、C、D、E、F六个班排队吃饭，A班必须排在第一位，且D班、E班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不
10、同方案共有（）A20种B56种C72种D40种【答案】C【解析】根据题意，A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置即可，分2步进行分析：将BCF三个班级全排列，排好后有4个空位，有A336种排法，在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有A4212种排法，则有61272种不同的方案12.(2021安徽宿州三模理T7)（x+2y）（2x+y）5的展开式中x3y3项的系数为（）A80B160C200D240【答案】C【解析】（x+2y）（2x+y）5（x+2y）（2x）5+（2x）4y+（2x）3y2+（2x）2y3+（2x）y4+y5），故展开式中x3y3项的系数为22+2232001
11、3.(2021安徽马鞍山三模理T6)的常数项为25，则实数a的值为（）A1B1C2D2【答案】D【解析】（2x1）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）r26rx6r，所以的常数项为（1）52a+（1）62012a+125，解得a214.(2021河北邯郸二模理T6)（x2x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（）A9B9C21D21【答案】A【解析】因为根据（1+x）6展开式的通项Tr+1，所以（x2x）（1+x）6的展开式中x3项为9x3，所以含x3项的系数915.(2021河北秦皇岛二模理T10)已知（2x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则下列选项正确的是（）Aa3360B（a0+
12、a2+a4+a6）2（a1+a3+a5）21Ca1+a2+a6（2）6D展开式中系数最大的为a2【答案】BD【解析】令x0得a026，令x1得a0+a1+a2+a6（2）6，则a1+a2+a6（2）626，故C错误，令x1，得a0a1+a2a3+a4a5+a6（2+）6，则（a0+a2+a4+a6）2（a1+a3+a5）2（a0+a1+a2+a6）（a0a1+a2a3+a4a5+a6）（2）6（2+）6（2）（2+）61，故B正确，a323（）3480，故A错误，展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值，则系数最大的在a0，a2，a4，a6中，展开式的通项公式Tk+126k（x）k，则a27
13、20，a4540，a627，则系数最大的为a216.(2021辽宁朝阳二模T6)今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A15B30C6D9【答案】D【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为33917.(2021山东潍坊二模T4)2021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成
14、立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌唱支山歌给党听毛主席派人来4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A14B48C72D120【答案】D【解析】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A5360种安排方法，则有260120种不同的安排方法18.(2021浙江丽水湖州衢州二模T8)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不
15、同的安排种数是（）A90B216C144D240【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C5219种分组方法，将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A4424种安排方法，则有924216种安排种数二、填空题部分19.(2021山东潍坊二模T13)设（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4【答案】15【解析】（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x1得：2416a0+a1+a2+a3+a4，令x0得：1a0，a1+a2+a3+a41611520.(2021辽宁朝阳二模T13)在（x2y+z）
16、7的展开式中，所有形如xaybz2（a，bN）的项的系数之和是【答案】21【解析】因为（x2y+z）7（x2y）+z7，所以展开式中含z2的项为C，令xyz1，则所求系数之和为C（12）5122121.(2021广东潮州二模T13)（x）6的展开式的常数项是用数字作答）【答案】20【解析】（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）rx62r，令62r0，求得r3，可得展开式的常数项为（1）2022.(2021广东潮州二模T15)根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为【答案】36【解析】根据题意，分2步进行
17、分析：将4位专家分为3组，有C426种分组方法，将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有A336种情况，则有6636种派遣方法23.(2021天津南开二模T11)的二项展开式中，x3的系数等于【答案】15【解析】的二项展开式的通项公式为Tr+1（1）r，令6r3且，解得r2，所以x3的系数等于（5）21524.(2021浙江卷T13) 已知多项式，则_，_.【答案】(1). ; (2).【解析】，所以，所以.故答案为：.25.(2021江苏盐城三模T13)文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建
18、党百年红色旅游百条精品线路”这些精品线路中包含上海大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种【答案】185【考点】排列组合【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从12个景区中选3个景区，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有18526.(2021河南郑州三模理T14)展开式中的a与b指
19、数相同的项的表达式为【答案】84a【解析】展开式的通项公式为Tr+1CC，令6，解得r3，所以展开式中的a与b指数相同的项的表达式为C84a27.(2021四川内江三模理T14)二项式（2x2）6的展开式中的常数项是（用数字作答）【答案】60【解析】（2x2）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）r27rx123r，令123r6，求得r4226028.(2021上海嘉定三模T8)展开式中的常数项为19【答案】19【解析】依题意，（1x）6展开式的通项是，当r0时，；当r3时，展开式的常数项是29.(2021四川泸州三模理T13)（x+1）（x1）6展开式中x3项的系数为【答案】5【解析】由题意可
20、得展开式中含x3项为x+1（1520）x35x330.(2021江苏常数三模T13)的展开式中常数项为【答案】7【解析】（1+x）4展开式的通项公式为Tr+1xr，故令r0，1，可得展开式中常数项为+（2）731.(2021福建宁德三模T14) 已知(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为64，则实数a=_ ；展开式中常数项为_ .【答案】1 ；6【解析】解：令x=1，可得(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64，则实数a=1.展开式中常数项为aC50+C51=1+5=6，故答案为：1；6.由题意令x=1，可得二项式的各项系数和，求出a的值，再利用二项展
21、开式的通项公式，求得展开式的常数项本题主要考查二项式定理的应用，求二项式的各项系数和，二项展开式的通项公式，属于中档题32.(2021江西九江二模理T14)（2x）6展开式中常数项为（用数字作答）【答案】60【解析】（2x）6展开式的通项为令得r4故展开式中的常数项33.(2021浙江杭州二模理T12)已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16，则a，x4项的系数为【答案】0；4【解析】已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16（1+a）316，则a0故知（x+a）3（x+1）4x3（x+1）4，故x4项的系数为434.(2021江西上饶二模理T14)若（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，则a1+a2+a3+a7【答案】2【解析】（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，令x0，得a01；令x1，则a0+a1+a2+a3+a71，a1+a2+a3+a72
