1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 必备知识自主学习 两角差的余弦公式 公式:cos(-)=_ (1)简记符号:C(-)(2)适用条件:公式中的角,都是任意角.导思(1)两角差的余弦公式是什么?(2)公式中的,是任意的吗?cos cos+sin sin.【思考】1.公式的结构特征是怎样的?提示:左端为两角差的余弦,右端为角,的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.2.公式中的角,可以为几个角的组合吗?提示:可以.公式中,都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)cos
2、(70-40)=cos 70+cos 40.()(2)对任意,cos(-)=cos -cos 都不成立.()(3)对任意,R,cos(-)=cos cos +sin sin 都成立.()(4)cos 30cos 60+sin 30sin 60=1.()2.(教材二次开发:练习改编)cos 45cos 15+sin 45sin 15等于()【解析】选B.原式=cos(45-15)=cos 30=.133A.B.C.D.322332关键能力合作学习 类型一 两角差的余弦公式的简单应用(数学运算、直观想象)【题组训练】1.sin +cos 的值为()A.B.1 C.D.2.(1)cos cos +c
3、os sin .(2)cos 105+sin 105.33121212251261261232 (2)=cos 60cos 105+sin 60sin 105=cos(60-105)=cos(-45)=.52.1 coscoscossin12612655coscossinsin12612652cos()cos.1264213cos 105sin 1052222【解题策略】利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【补偿训练】求下列各式的值:(1
4、)cos .(2)sin 460sin(-160)+cos 560cos(-280).1312类型二 给值求值问题(直观想象、数学运算)角度1 同角关系式求值 【典例】(2020成都高一检测)已知cos =,是第四象限角,sin =,是第二象限角,求cos(-)的值.【思路导引】先利用角的象限及同角三角函数关系求另一三角函数,再利用两 角差的余弦公式求值.1335【解析】因为cos=,是第四象限角,所以sin=-=-因为sin=,是第二象限角,所以cos=则cos(-)=cos cos+sin sin 1321 cos212 21()33，3522341sin1()55，142 2346 2(
5、).353515 )(【变式探究】已知sin =,则cos 的值为_.【解析】因为sin=,所以cos=所以cos =cos cos+sin sin=+=.答案:1517()2，()4 ()4 44222215171517()2，221581sin1()1717，817()7 2347 234 角度2 变角代换求值 【典例】设,都是锐角,且cos =,sin(+)=,则cos =()【思路导引】考虑如何用已知角,+的差来表示所求角,进而利用两角 差的余弦公式解决.55352 52 5A.B.2552 52 555C.D.255525或或【解析】选A.依题意得sin=cos(+)=又,均为锐角,
6、所以0+cos(+).因为 所以cos(+)=-.于是cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin 22 51cos,5 241 sin ().5 454555 ，454532 52 5.555525【解题策略】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.给值求值的解题策略有:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,()().2222222 等【题组训练】
7、1.已知 为锐角,为第三象限角,且cos =,sin =-,则cos(-)的值为()【解析】选A.因为为锐角,且cos=,所以sin=因为为第三象限角,且sin=-,所以cos=-所以 cos(-)=cos cos+sin sin=12133563336333A.B.C.D.656565651213251cos.13 35241sin5，121345363().513565（)2.已知cos 则cos +sin 的值为_.【解析】因为cos =cos cos+sin sin =cos+sin=,所以cos+sin=.答案:1()38 ，3()3 3312321814314类型三 给值求角问题(
8、数学运算、逻辑推理)【题组训练】1.已知,均为锐角,且sin =,sin =,则-=_.2.(2020长沙高一检测)已知cos =,cos(+)=-,则 =_.3.已知cos(-)=-,sin(+)=-,-,+2,求 的值.2 551010171114(0)2，4535232【解题策略】解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出要求的角.【补偿训练】已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),(0,)且ab,求 -的值.【解析】因为ab,所以ab=0,即cos cos+sin sin=0.从而cos(-)=0.因为,(
9、0,),所以-,所以-=或-.221.cos 20=()A.cos 30cos 10-sin 30sin 10 B.cos 30cos 10+sin 30sin 10 C.sin 30cos 10-sin 10cos 30 D.cos 30cos 10-sin 30cos 10【解析】选B.cos 20=cos(30-10)=cos 30cos 10+sin 30sin 10.课堂检测素养达标 2.(2020济南高一检测)化简 =()【解析】选C.原式 cos()4sincos 1122A.B.C.D.2222cos cossin sin44sincos22cossin222.sincos23
10、.(教材二次开发:练习改编)已知cos =cos ,则tan =_.【解析】cos =cos cos +sin sin =cos+sin=cos,所以 sin=cos,所以 =,即tan=.答案:()3()3 3312323212333333sincos4.已知sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,求证:cos(-)=-.【证明】由sin+sin+sin=0,cos+cos+cos=0得(sin+sin)2=(-sin)2,(cos+cos)2=(-cos)2.+得,2+2(cos cos+sin sin)=1,即2+2cos(-)=1,所以cos(-)=-.1212