1、命题解读全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题(以裂项求和为主)，难度中等等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借助方程思想，代数列的通项或求和问题为公差d(或公比q)及首项a1的方程求解问题【例1】(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解设an的公差为
2、d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.规律方法在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷 (2018北京高考)设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通项公式；(2)求ea1ea2ean.解(1)设an的公差为d
3、，因为a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.(2)因为eln 22，eanan1eln 22.所以数列ean是首项为2，公比为2的等比数列，所以ea1ea2ean2(2n1)2n12.等差、等比数列的判定与证明等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差(比)数列定义，即证明an1an常数.难度不大【例2】(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan
4、1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列规律方法该类问题常以递推关系为载体，求解的关键是依据题目信息重新构造递推关系，并结合等差(比)数列的定义给予相应的证明 记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，
5、并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列数列的通项与求和问题数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等【例3】(本题满分12分)(2016全国卷)Sn为等差数列an的前n项和，且.记，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.
6、(1)求b1，b11，b101；(2)求.信息提取看到想到等差数列的求和公式；看到想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；看到想到数列的常见求和方法规范解答(1)设an的公差为d，S77a428，所以a44，2分所以d1，4分所以ana1(n1)dn. 5分所以b1lg a1lg 10，b11lg a11lg 111，b101lg a101lg 1012. 6分(2)记bn的前n项和为Tn，则T1 000b1b2b1 000lg a1lg a2lg a1 000，当0lg an1时，n1,2，9；7分当1lg an2时，n10,11，99；9分当2lg an3时n100,101，999；11分
7、当lg an3时，n1 000，所以T1 000091902900311 893.12分易错与防范易错点防范措施对lg an认识错误先结合题设条件理解x，再结合对数的运算性质求出b1，b11，b101找不出lg an的规律求不出bn的前1000项的和结合(1)的结论，合情推理推出lg an的规律，并分类求出bn，最后利用分组求和求bn的前1000项和.通性通法(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等 设数列an满足a
8、12a23a3nan2n1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.解(1)当n1时，a12111；当n2时，a12a23a3nan2n1，a12a23a3(n1)an12(n1)1，得nan2，即an.当n1时，a12，所以an(2)由(1)知，bn所以bn0，所以SnS1；当n1时，S1；当n2时，bn2，所以Snb1b2bn22，因为0，所以Sn.综上所述，对任意的nN*，Sn.大题增分专训1(2019湖北四校联考)在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项(1)求证：数列是等差数列，并求an的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解(1)a
9、n是1与anan1的等差中项，2an1anan1，an1，an111，1，1，数列是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)n，an.(2)由(1)得，Sn1.2(2018石家庄一模)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn2n1m(mR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)法一：当n2时，由2Sn2n1m(mR)得2Sn12nm(mR)，所以2an2Sn2Sn12n，即an2n1(n2)，又a1S12，当m2时，a11符合数列an为等比数列，所以an的通项公式为an2n1.法二：由2Sn2n1m(mR)得从而有a2S2S12，a3S3
10、S24，所以等比数列an的公比q2，首项a11，因此数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)可得log2(anan1)log2(2n12n)2n1，所以bn，所以Tnb1b2bn.3(2018广州一模)已知数列an的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足5(4n5)n，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1.所以Sn2n2n.当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3，当n1时，a11也符合上式所以数列an的通项公式an4n3(nN*)(2)当n1时，所以b12a12；当n2时，由5(4n5)n，所以5(4n1)n1.两式相减，得(4n3)n.因为an4n3，所以bn2n(当n1时，也符合此式)又2，则数列bn是首项为2，公比为2的等比数列所以Tn2n12.
