1、2021-2022学年度第二学期开年考卷高三文科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1已知全集，则集合（ ）ABCD2已知复数满足，则（ ）ABCD3已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）ABCD4已知函数，设，则a，b，c的
2、大小关系为（ ）ABCD5已知定义域为的函数的图象关于y轴对称，且满足若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD6已知函数，有三个不同的零点，且，则的范围为（ ）ABCD7已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）ABCD8若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A-6B-3CD-99某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）ABC3D810已知抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则下列结论不正确的是（ ）AB准线方程为CD点到准线的距离为611笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果
3、将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（ ）ABCD12通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则（ ）ABCD第II卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13已知，若p是q的充分不必要条件，则实数
4、m的取值范围是_14已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是_.15已知定义域为的函数的图象关于轴对称，且满足若曲线在处切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为_16某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：3456234根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为_.（注：残差是实际观察值与估计值之间的差，）三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17. （本题满分12分）已知数列满足，（1）求的值并证
5、明数列是等差数列；（2）求数列的通项公式并证明：18（本题满分12分）某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.（1）根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：分值人数（2）在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？（3）在（2）条件下
6、，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.（1）求证：平面：（2）求点P到平面的距离.20（本题满分12分）已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点的直线，的斜率分别为，满足，交于点，交于点，线段与的中点分别为判断直线是否过定点，若过定点
7、求出该定点；若不过定点，请说明理由21（本题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求a的取值范围.22. （本题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求以为直径的圆的极坐标方程23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若在时有解，求实数的取值范围.参考答案1D【详解】.故选：D2C【详解】由已知可得，因此，.故选：C.3D【详解】若且，则有，反之，若，
8、如且，而且不成立，即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，由求导得：，由得：，即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，是真命题，是假命题，A不正确；是假命题，是假命题，B不正确；是假命题，C不正确；是真命题，是真命题.故选：D4D【详解】，令，为偶函数，令，设，则，因为，所以，所以，所以在是增函数，又为增函数，所以在上为增函数，所以，由，得，当时；当时，所以，当且仅当时取等号，所以，故，令，当时；当时，所以，当且仅当时取等号，.综上故选：D5A【详解】令，当时，的图象如图所示，由对称性可知，,又，,故，,故选：.7B【详解】由，可得，所以，即，所以，设的夹角为，则,故选：B.8B
9、【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，所以.故选：B9B【详解】由三视图可知原几何体是底面边长为2，高为2的四棱锥，如图所示，所以该几何体的体积为，故选：B10D【详解】因为抛物线的焦点，所以，得，准线方程为，抛物线方程为，所以AB正确，设，则，两式相减得，所以，所以，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为， 代入抛物线方程整理得，所以，所以，所以C正确，由，得，所以，所以点到准线的距离为5，所以D错误，故选：D11D【详解】把2只鸡记为，2只兔子分别记为“长耳朵”
10、H和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：，其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率故选：D12A【详解】如图：， 在中，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以,整理可得：，所以，故选：A.13【详解】由，得，由是的充分不必要条件知：有解，故，即原不等式可化为：，解得：，设，是的充分不必要条件，是B的真子集,则且等号不同时成立，解得：，故的取值范围是故答案为：.14【详解】根据题意，在以为圆心，半径为的圆上， 所以在中，由余弦定理得，解得，所以，所以当时，取得最小值，；当
11、时，取得最大值，；所以的取值范围是故答案为：15【详解】因为，且函数是上的偶函数，则，故函数为周期函数，且周期为，则，故函数也为周期函数，且周期为，由已知可得，因此，曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.16【详解】根据样本处的残差为，即，可得，即回归直线方程为，又由样本数据的平均数为，得，解得.故答案为：17（1）解：当时，当时，；，两式相除得，整理为：，即，为等差数列，公差；（2）证明：由（1）得，整理得：，又单调递增，所以.18（1）根据频率分布直方图知，分值在区间，内的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，各分值段的业主人数为：分值人数1216202
12、41810（2）由(1)及已知得列联表如下：不满意满意总计男183250女302050总计4852100的观测值为：，所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.（3）由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.19（1）取的中点O，连接，因为E，F分别是的中点，所以，故平面平面， 平面 ,因此，平面平面，又平面，所以平面.（2）连接
13、，因为，E是PA的中点，所以的面积为，由（1）知，因为平面平面，所以平面，又,所以三棱锥的体积，在中，所以；在中，；在中，所以，在中，故底边上的高为：，所以的面积为：.设点P到平面的距离h，则三棱锥的体积为，又因为，所以，解得，所以点P到平面的距离为.20（1）设右焦点，由题知求得，所以椭圆C的标准方程为（2）设，联立直线与椭圆C的方程得消去y得，由根与系数的关系知，则，代入直线的方程得，所以，同理得当直线MN的斜率存在时，设直线，将点M，N的坐标代入直线，得易知，为方程的两个根，由根与系数的关系知，由题知，所以，得，所以直线，所以直线MN过定点当直线MN的斜率不存在时，即，所以，且不妨设，所
14、以，即直线，满足过定点综上，直线MN过定点21（1）函数的定义域为，当时，在定义域上单调递减；当时，当时，单调递减，当时，单调递增.综上所述，时，在定义域上单调递减；时，在上单调递减，在单调递增.（2）当时，函数，符合题意，由（1）可知，当时，在定义域上单调递减，所以，故不满足.当时，在上单调递减，在单调递增，要想满足，满足即可.，即，化简得，即，综以a的取值范围是.22（1）由(为参数)，得(为参数)，消去得，所以曲线的普通方程为.（2）由得直线l的直角坐标方程：，由解得或，不妨令点，则中点坐标为，以为直径的圆的直角坐标方程为，即，将，代入得，所以以为直径的圆的极坐标方程是.23（1）（2）（1）当时，当时，恒成立，当时，由，得，综上， 所以不等式的解集为.（2），即，又因为，则，整理得，则，即在有解，则所以实数的取值范围为
