1、河南省郸城县第二高级中学 2019-2020 学年高二数学下学期网上学习第二次月考试题（含解析）一、选择题（每小题 5 分共 60 分）1.函数 2f xx在区间1,2上的平均变化率为（）A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】直接利用平均变化率公式2121()()f xf xxx进行求值.【详解】因为 2f xx，所以()f x 在区间1,2上的平均变化率为(2)(1)4 112(1)3ff.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.2.设()f x 为可导函数，且(2)f=12，则0(2)(2)limhffhh的值为（）A.1 B.1 C.1
2、2 D.12【答案】C【解析】【分析】由导数定义 lim0222hfhffh，求解即可得解.【详解】解：因为0(2)(2)limhffhh lim0222hfhffh，又(2)f 12，所以0(2)(2)limhffhh 12，故选：C.【点睛】本题考查了导数的定义，属基础题.3.曲线2(21)lnyxx在点(1,)m 处的切线方程为（）A.134yx B.72yx C.114yx D.54yx【答案】A【解析】【分析】根据曲线在某点处导数的几何意义，可求出切线的斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】依题意：2441lnyxxx，故14(21)yxx，故切线斜率113xky，2(2 1)ln1
3、9m，故所求切线方程为913(1)yx，即134yx，故选：A【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程，重在理解曲线在这点处导数的几何意义，属基础题.4.设 P 为曲线2:23C yxx上的点，且曲线C 在点 P 处切线的倾斜角的取值范围为0,4，则点 P 横坐标的取值范围为（）A.11,2 B.1,0 C.0,1 D.1,12【答案】A【解析】因为,又因为曲线C 在点 P 处切线的倾斜角的取值范围为 0,4，则切线的斜率，所以,解得，故选 A.5.已知函数 f x 的导函数为 fx且满足 21lnf xx fx，则1fe（）A.12e B.2e C.1 D.e 【答案】B【解析】【分析】利用导
4、数的运算法则求得 fx，令1x 得 11f ，即得 12fxx，即可求解.【详解】函数 fx 的导函数为 fx，且满足 21lnf xx fx0 x，121fxfx，令1x，则 1211ff，即 11f ，12fxx，故12fee.故选：B.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，解决此题的关键是 1f 是一个常数，属于基础题.6.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A.360 B.520 C.600 D.720 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分 2 种情况讨论，只有甲乙其
5、中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分 2 种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有134254480C C A 种情况；若甲乙两人都参加，有224254240CCA种情况，其中甲乙相邻的有22322532120CCAA种情况；则不同的发言顺序种数480240 120600种，故选：C.【点睛】本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论，属于中档题.7.对于问题“已知关于 x 的不等式20axbxc的解集为2,5，解关于 x 的不等
6、式20cxbxa”，给出如下一种解法：由20axbxc的解集为2,5，得2110abcxx的解集为 1 1,5 2，即关于 x 的不等式20cxbxa的解集为 1 1,5 2.类比上述解法，若关于 x 的不等式0 xaxb的解集为1,3，则关于 x 的不等式1log 301log 3xxab的解集为（）A.3,27 B.3,9 C.1,27 D.1,9 【答案】A【解析】【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集.【详解】将关于 x 的不等式1log 301log 3xxab变形可得1log 301l
7、og 3xxab，从而由条件可得113log 3x.利用对数换底公式有31log3x，即333log 3loglog 27x，于是所求不等式的解集为3,27，故选 A.【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决.8.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233445522,33,44,55338815152424，则按照以上规
8、律，若8888nn具有“穿墙术”，则n（）A.35 B.48 C.63 D.80 【答案】C【解析】【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出7 8763n 即可.【详解】因222222331 2 1，333333882 32，4444415153 43 ，55555524244 54 ，所以888888887 8763nn，即63n.故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）9.已知 12ln0f xa xx ax在1,上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A.0 ，B.0,C.1
9、，D.1,【答案】D【解析】【分析】由题意可得 0fx对任意的1,x 恒成立，转化为220axxa对任意的1,x 恒成立，分离参数，进而可得取值范围.【详解】由题意知 22212210axxafxaxxx对任意的1,x 恒成立，即220axxa对任意的1,x 恒成立，即22211xaxxx，又函数1yxx在1,上单调递增，则12yxx，即2011xx，所以1a.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10.函数3()3f xxx在区间2,m上有最大值，则m 的取值范围是（）A.1,)（B.1,1（C.1,
10、2)（D.1,2（【答案】D【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间2,m上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得 m 的取值范围.【详解】由于 233311fxxxx，故函数在,1 和1,上递增，在1,1上递减，122ff，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间2,m上有最大值，根据图像可知,BAmxx，即1,2m，故选 D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知定义在 R 上的函数 fx 导函数为 fx，0fxf x且 11f，则不等式1()1xef x 的解
11、集是()A.(,1)B.(1,)C.(,)e D.(0,1)【答案】A【解析】【分析】根据题意，令1()()xg xef x，对其求导可得1()()()xg xefxf x，结合函数的导数与单调性的关系分析可得函数()g x 在 R 上为减函数，进而分析可得1()1xef x，得()g xg（1），结合函数的单调性，分析可得答案【详解】根据题意，令1()()xg xef x，其导数111()()()()()xxxg xef xefxefxf x，又由对于任意实数 x 有()()0fxf x，则有1()()()0 xg xefxf x，即函数()g x 在 R 上为减函数，又由 f（1）1，则
12、g（1）0e f（1）1，则1()1xef x ，得()g xg（1），又由函数()g x 在 R 上为减函数，则有1x ，即不等式()1xe f x 的解集为(,1)；故选：A 【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数单调性的应用，关键是构造函数1()()xg xef x，并利用导数分析其单调性 12.若2x 是函数 22xf xxax eaR的极值点，函数 g xf xm恰好有一个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.240 e，B.24,0e C.0 ，D.24e，【答案】B【解析】【分析】由题意可得2x 是函数 0fx的根，则可得0a，利用导数得函数 fx 的单调性，再由函数
13、 g xf xm恰有一个零点，即 f xm只有一个交点，得到结论.【详解】由函数 22xf xxax eaR，得 2222xfxxxaxa e，因2x 是函数 22xf xxax eaR的极值点，则20f ，解得0a，即 2xf xxe，22xfxxx e，令 0fx，即220 xxx e，解得2x 或0 x，所以，函数 fx 在,2，0,上为增函数，在2,0上为减函数，又242fe，00f，当 x 时，0f x；当 x 时，f x ；要使函数 g xf xm恰有一个零点，即 f xm只有一个交点，所以，24me或0m.故实数m 的取值范围为 24,0e.故选：B.【点睛】本题考查函数的极值，
14、函数的零点，属于中档题.二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13.函数 219ln2f xxx的单调减区间为_ 【答案】0,3.【解析】【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：219ln2f xxx，0 x，则299()xfxxxx，由()0fx，即290 x，解得 33x ，0,03xx，即函数的单调减区间为0,3，故答案为：0,3.【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.14.设2101()cos0 xxf xxx，则12()f x dx_.【答案】14【解析】【分析】由 题 意 得，1012022()cos1f x d
15、xxdxx dx，根 据 定 积分 的 几 何 意 义可 知，可得1201x dx表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求02cos xdx，最后相加即可得到结果.详解】由题意得，1012022()cos1f x dxxdxx dx，根据定积分的几何意义可知，1201x dx表示的是在 x 轴上方的半径为 1 的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故12014x dx，又0022cossin|sin 0sin()12xdxx，所以1012022()cos114f x dxxdxx dx.所以本题答案为14.【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图
16、形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.15.若曲线xye上点 P 处的切线斜率为 1，则曲线上的点 P 到直线10 xy 的最短距离是_.【答案】2 【解析】【分析】先求导数，结合切线斜率可得切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求.【详解】由1xye 得切点为(0,1)P，最短距离为点(0,1)P到直线10 xy 的距离，222d.故答案为：2.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，明确切点处的导数值即为切线的斜率是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有 3 种不同的植物可供选择
17、，则有_种栽种方案 【答案】66【解析】【分析】根据题意，分 3 种情况讨论：当 A、C、E 种同一种植物，当 A、C、E 种二种植物，当 A、C、E 种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案【详解】根据题意，分 3 种情况讨论：当 A、C、E 种同一种植物，此时共有 3222=24 种方法；当 A、C、E 种二种植物，此时共有 C32A32211=36 种方法；当 A、C、E 种三种植物，此时共有 A33111=6 种方法；则一共有 24+36+6=66 种不同的栽种方案；故答案为 66【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才
18、能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式 三、解答题（17 题 10 分，其他每小题 12 分）17.已知复数 z 满足1243i zi（i 是虚数单位）.求：（1）z；（2）2zz.【答案】(1)2i；(2)26 【解析】【分析】(1)易得431 2izi,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得2,zz 再计算2zz求模长即可.【详解】(1)由题431 24310521 21 21 25iiiiziiii.即2zi (2)由(1)
19、2zi,故22221 5zziii,故2221526zz.即226zz【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.18.设函数 3f xx的图象上一点 1,1Pf处的切线l 与 3f xx的图象的另一交点为Q （1）确定点Q 的坐标；（2）求函数 yf x与切线l 围成的封闭图形面积【答案】（1）2,8Q；（2）274【解析】【分析】（1）利用导数求出函数 3f xx在点 1,1Pf处的切线方程，将此切线方程与函数 yf x的解析式联立，可求出点Q 的坐标；（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数 yf x的图象与切线l 围成的封闭图形面积.【详解】（
20、1）点1,1P，23fxx，故 13f，所以切线l 的方程为131yx，即32yx.联立332yxyx，得3320 xx，解得2x 或1x（舍去），所以点2,8Q （2）由图，设函数()yf x与切线l 围成的封闭图形面积为 S，则12342121327322424Sxxdxxxx，所以所求面积为 274【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.19.一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，（1）从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2 分，取一个白球记1分，从中任取5 个球，使
21、总分不少于 7 分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【解析】【详解】（1）从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法，红球 4 个，红球 3 个和白球 1个，红球 2 个和白球 2 个，红球 4 个，取法有 种，红球 3 个和白球 1 个，取法有种；红球 2 个和白球 2 个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115种（2）使总分不少于 7 分情况有三种情况，4 红 1 白，3 红 2 白，2 红 3 白.第一种，4 红 1 白，取法有41466C C 种；第二种，3 红 2 白，取法有324660CC种，第三种，2 红 3 白，取法有2346
22、120CC种，根据分类计数原理，总分不少于 7 分的取法有660 120186.20.（1）求证：132 2.（2）已知,a b c dR，用分析法证明：22222()acbdabcd.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用分析法，不等式的两边平方后，进行比较大小，从而问题得证；（2）根据分析法的证明步骤，利用不等式的基本性质，即可证明.【详解】（1）证明：因为13和 2 2 都是正数，所以要证132 2，只需证22(13)(2 2)，即证42 38，只需证32，只需证34，又因为34成立，所以132 2成立.即证.（2）若证22222()acbdabcd.即证
23、2222222222222a cabcdb da ca db cb d，即证22222abcdb ca d，即证20()bcad.因为,a b c dR，所以20()bcad恒成立，故原不等式成立.即证.【点睛】本题考查不等式的证明，涉及不等式证明的方法（分析法），属基础题.21.已知数列 na 满足11(33)461,nnnanaanNn .（1）证明：数列2nan 是等比数列；（2）令132nnnba，用数学归纳法证明：122412,521nnnbbbnnNn【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明2n 时，
24、不等式成立；再假设当(2)nk k时，不等式成立，然后证明1nk 时不等式成立即可.【详解】证明：（1）令2nnacn，则11334623322233111nnnnnnnannaaanccnnn nn，11210ca，0nc，即13nncc，数列 nc是等比数列，故2nan是等比数列；（2）由（1）得123nnan，132nnan，1312nnnban，下面用数学归纳法证明当2n，*nN时，12241521nnnbbbn 当2n 时，不等式的左边341173412bb，右边413555，而 73125，2n 时，不等式成立；假设当(2)nk k时，不等式成立，即12241521kkkbbbk；
25、当1nk 时，1 11 22(1)12221221kkkkkkkkkbbbbbbbbb 4111152121221kkkk 411522141521415211kkkk 当1nk 时，不等式也成立 由可得，当2n，*nN时，12241521nnnbbbn【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了数学归纳法，属中档题.22.已知函数 f（x）xlnxx+1，g（x）exax，aR（）求 f（x）的最小值；（）若 g（x）1 在 R 上恒成立，求 a 的值；（）求证：21111111222nlnlnln 【答案】（）0（）a1；（III）见解析【解析】【分析】（I）对 f(x)求导，分析
26、导函数的正负，得到函数 f(x)的单调性，即得解.（）由 g（x）exax1 恒成立可得 ax+1ex恒成立，可求得函数 yh（x）在（0，1）处的切线方程为 yx+1，故可得证.（III）由（）两边取对数得 ln（x+1）x，令 x12i，可得证.【详解】（I）f（x）lnx，当 0 x1 时，f（x）0，x1 时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当 x1 时，f（x）取得最小值 f（1）0；（II）由 g（x）exax1 恒成立可得 ax+1ex恒成立，设 h（x）ex，则 h（x）ex，故 h（0）1，h（0）1，函数 yh（x）在（0，1）处切线方程为 yx+1，x+1ex恒成立 a1；（III）由（II）可知，x+1ex恒成立，两边取对数得 ln（x+1）x，令 x12i（i1，2，3n）累加得 2211111111112211111222222212nnnnlnlnln 1，所以原不等式成立【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.