1、课后限时集训(五十)抛物线(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1(2019哈尔滨模拟)过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212xBy212xCx212y Dx212yD由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，其方程为x212y.故选D.2直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24xB设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到
2、y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.3已知点F是抛物线y24x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|PM|的最小值是()A6 B5C4 D3A由题意知，抛物线的准线l的方程为x1，过点P作PEl于点E，由抛物线的定义，得|PE|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6，故选A.4若点(3,1)是抛物线y22px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A1 B2C3 D4B设过点(3,1)的直线交抛物线y22px(p0)于A，B两点，A(x1，y1
3、)，B(x2，y2)，则由得yy2p(x1x2)，即，由题意知kAB2，且y1y22，故kAB2，所以py1y22.5已知抛物线C：y24x，过点P(1,0)任作一直线交抛物线于A，B两点，点C为B关于x轴的对称点，则直线AC恒过定点()A(1,0) B(0,1)C(2,0) D.A设直线AB的方程为xmy1，与抛物线的方程联立，得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，所以y1y24，又x1x2，则直线AC的方程为yy2(xx2)，所以yy2，整理得y(y1y2)4(x1)，即直线AC恒过定点(1,0)，故选A.二、填空题6已知抛物线x22py(p0)的焦点
4、为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x24yFPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.7过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.4设AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF
5、|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m当水面宽为2 m时，水位下降了_m.1以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，把(2，2)代入方程得p1，即抛物线的标准方程为x22y.将x代入x22y得：y3，又3(2)1，所以水面下降了1 m三、解答题9已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，
6、B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，消去y有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.10(2017全国卷)设A，B为曲线C：
7、y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由 y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.B组能力提升1
8、(2018洛阳一模)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4C. D.A因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|CF|，所以.由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD.由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16.故选A.2(2019惠州一调)设抛物线y24x的焦点为F，过点(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若，则|AF|()A. B4C3 D2D设过点(2,0)的直线l：yk
9、(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入抛物线方程得，k2x24(1k2)x4k20，由根与系数的关系得x1x24，分别过点A，B作准线的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1(图略)，即5x12x230，由得x11或x1(舍去)，|AF|2，故选D.3过抛物线C：y24x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且3，则|_.过点P作PP1垂直准线于P1，由3得|PM|2|PF|，又由抛物线的定义知|PF|PP1|，所以|PM|2|PP1|.由三角形相似得，所以|PP1|，所以|.4(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点
