1、辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三数学第八次模拟考试试题 理（含解析）第卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合，集合，则有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A，B，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果.【详解】， ，所以，故，故选：C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第
2、三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】由得，所以复数对应的点的坐标为，其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3.某地区甲乙丙丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）A. 分层抽样法系统
3、抽样法B. 分层抽样法简单随机抽样法C. 系统抽样法分层抽样法D. 简单随机抽样法分层抽样法【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.【详解】四所学校，学生有差异，故使用分层抽样；在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.故选：B.【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；（3）简单随
4、机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取.4.“为第一或第四象限角”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当为第一或第四象限角时，所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件，当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角，所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件，所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.5.已知正项等比数列的前项和为，则
5、公比的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出【详解】解：， 化为：，解得故选：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出， 由，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解【详解】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以故选：C【点睛】本题主要考查平面向量基本定理应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题7.人们通常以分贝
6、（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比( )A. 100B. 1000C. D. 【答案】B【解析】【分析】设90dB与60dB的声音强度分别为，根据，计算即可求解.【详解】设90dB的声音与60dB的声音强度分别为，则，即，解得.由，即，解得.因此所求强度之比为.故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题.8.如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B
7、【解析】【分析】根据是正三角形，利用异面直线所成角结合线面垂直的定义判断；根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；根据AB与CE的夹角为，再由线面垂直的定义判断；易知平面，得到，同理，再利用线面垂直的判定定理判断.【详解】因为是正三角形，所以AB与AC的夹角为，又因为，所以AB与ED的夹角为，故错误；因为正方形对角线相互垂直，所以，平面，故正确；由知AB与CE的夹角为，故错误；因为，所以平面，则，同理，又，所以平面，故正确.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点
8、，于点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先由条件可得出，然后由是等边三角形，焦点到准线的距离为2可得出的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由可得圆心到的距离为，即，即所以抛物线的方程为因为是等边三角形，焦点到准线的距离为2所以的边长为4所以故选：A【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，弦长为，则有10.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺
9、安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意基本事件总数，其中“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.【详解】由题意知基本事件总数，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故有种“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，
10、考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，则有种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，四点共圆，求的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果.详解】由题意，四点共圆，要使取的最小值，只需圆的直径最小，
11、即为右顶点时满足条件，且，因为的渐近线为，所以，所以有，解得，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目.12.已知函数（，）满足，且在上是单调函数，则的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断【详解】函数 满足，所以函数关于对称，同时又满足，所以函数又关于对称，设周期为,而显然是奇数，当=3时，关于对称，而，显然不单调；当=5时，关于对称，而，显然单调，故本题选C【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周
12、期和对称轴的表达式是关键.第卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13.等差数列中，公差，是其前项和，若，则_.【答案】46【解析】【分析】利用等差数列的基本量计算【详解】由题意，所以，又，所以故答案为：46【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项和公差表示项与前项和是解题的基本方法14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】画出可行域，则表示可行域内的点到定点的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示则表示可行域内的点到定点的距离.解方程组，得，设.由图可知，.故答案为：.【点睛】本题考查简单的
13、线性规划，属于基础题.15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】首先求出母线，设内切球的半径为，则利用轴截面，根据等面积可得，即可求出该圆锥内切球的表面积【详解】解：依题意，圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，所以，因为，所以设内切球的半径为，则利用轴截面，根据等面积可得，该圆锥内切球的表面积为，故答案为：【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高
14、斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为_.【答案】【解析】【分析】令，显然，可得出，将问题转化为函数与函数的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点，数形结合可得出结果.【详解】，令，可得，则函数的零点，即为函数与函数的图象交点的横坐标，作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，所以，函数的所有零点之和为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出
15、文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，求的面积的大小.【答案】【解析】【分析】先根据，求出，若选择，根据二倍角的余弦公式求出，根据正弦定理求出，根据两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择,根据余弦定理角化边可得，再根据三角形的面积公式求出面积即可.【详解】因为，所以. 显然，所以，又，所以. 若选择，由得,又,， 由，得. 又，所以. 若选择,，则 所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18.山东省高考
16、改革试点方案规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、共8个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，
17、求的分布列和数学期望（附：若随机变量，则，）【答案】（）1636人；（）见解析【解析】【分析】（）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（）由题意得成绩在区间61,80的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望【详解】（）因为物理原始成绩，所以所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）（）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间61,80内的概率为所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以 ， 所以的分布列为0123所以数学期望【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区
18、间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布19.如图，在四边形中，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面；（2）若为的中点，二面角等于60，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，取的中点，连接，易知两两垂直，以为原点建立如图所示的坐标系，设，平面的一个法向量为，求出向量，则向量所成角的余弦值的绝对值即为所求
19、.【详解】（1）证明：因为，所以平面，又因为平面，所以.又因为，所以平面.（2）因为，所以是二面角的平面角，即，在中，取的中点，连接，因为,所以,由（1）知，平面，为的中位线，所以，即两两垂直，以为原点建立如图所示的坐标系，设，则，设平面的一个法向量为，则由得令，得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20.已知函数，.（1）求 函数的单调区间；（2）定义：对于函数，若存
20、在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ；（2）.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论的取值，得到函数的单调区间；（2）依题意可得，存在两个不动点，所以方程有两个实数根，即有两个解， 令，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）的定义域为，对于函数，当时，在恒成立.在恒成立.在为增函数； 当时，由，得；由，得；在为增函数，在减函数.综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （2），存在两个不动点，方
21、程有两个实数根，即有两个解， 令， 令，得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 设,则,即时,将两边取指数,则 当时,当时 , 当时，有两个不同的不动点【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题21.已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设动点和点，的坐标，利用向量数乘关系结合容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程， 利用弦长公式可得，则，设，则，再利用基
22、本不等式计算可得；【详解】（1）解：设.，即. 又，.从而.曲线的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0.故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，则， 将式子中的换成，得：. ， 设，则. 故，取等条件为即，即，解得时，取得最大值.【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程
23、；（2）若射线与曲线交于，两点，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消参即可容易求得曲线的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程；（2）联立与，即可求得，则问题得解.【详解】（1）由得，即，故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为. （2）将代入，得，即，则，所以.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，的几何意义，根与系数的关系，属于中档题.选修4-5: 不等式选讲23.已知，函数，.（1）若，求的取值范围；（2）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.【答案】（1）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；（2）.【解析】【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为，所以，两边同时平方得，即，当时，；当时，.故当时，不等式解集为；当时，不等式解集为（2）因，当且仅当时取得等号.所以的最小值为3，所以，则，解得，故的最大值与最小值之和为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.
