1、专项强化练七不等式综合应用1.(2018浙江名校协作体高三上学期测试)若变量x,y满足约束条件yx,x+y1,y-1,则2x+y的最大值是() A.3B.2C.4D.5答案A作出可行域如图阴影部分所示. 由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大,由x+y=1,y=-1解得x=2,y=-1,即C(2,-1),则所求最大值为22-1=3,故选A.2.若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是()A.a0B.a1C.a2D.a3答案Ca-y2-2y-x2-2x,而-
2、y2-2y-x2-2x=-(y+1)2-(x+1)2+22,a2.故选C.3.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2和8(单位:万元),那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处答案A由已知得y1=20x,y2=0.8x,x为仓库到车站的距离(单位:千米).费用之和y=y1+y2=0.8x+20x20.8x20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立,故选A.4.已知实数a0, b0,1a+1+
3、1b+1=1,则a+2b的最小值是()A.32B.22C.3D.2答案Ba0,b0,1a+1+1b+1=1,a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)1a+1+1b+1-3=1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1-33+22-3=22,当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1,即a=2,b=22时取等号.故选B.5.(2018浙江台州高三上学期期末)当x0时, x+ax+1(a0)的最小值为3,则实数a的值为.答案4解析因为当x0时,x+ax+1=x+1+ax+1-12a-1,x+ax+1(a0)的最小值为3,所以2a-1=3,解得a=4,故答案为4.6.已知当x0,1
4、时,不等式2m-1x(m2-1)恒成立,则m的取值范围是.答案m0,f(1)0,得-(2m-1)0,m2-2m0,则m0),对任意的x1-1,2,存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则a的取值范围是.答案0,12解析f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x-1,2时, f(x)的值域A=-1,3.a0,g(x)=ax+2是增函数,当x-1,2时,g(x)的值域B=2-a,2+2a.对任意的x1-1,2,存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),BA,2-a-1,2+2a3,a12,又a0,a的取值范围是0,12.8.不等式a2+3b2b(a+b)对任意a,bR恒成立,则实数的
5、最大值为.答案2解析由题意知a2-ba+(3-)b20对任意a,bR恒成立,当b0时,两边同时除以b2,得ab2-ab+(3-)0恒成立,故0,即2-4(3-)0,解得-62.当b=0时,a20恒成立,R.综上,的取值范围为-62,故的最大值是2.9.已知函数f(x)=x2-1.(1)若对于任意的1x2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)|f(x-1)|恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对任意实数x11,2,存在实数x21,2,使得f(x1)=|2f(x2)-ax2|成立,求实数a的取值范围.解析(1)对于任意的1x2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)|f(x-1)|恒成立,即4m2(
6、|x2-1|+1)4+|x2-2x|恒成立,由1x2,可得4m24+2x-x2x2,令g(x)=4+2x-x2x2,x1,2,则g(x)=4+2x-x2x2=41x+142-54,当x=2,即1x=12时,g(x)取得最小值,且为1,即有4m21,解得-12m12.(2)可设f(x)在1,2上的值域为A,h(x)=|2f(x)-ax|在1,2上的值域为B,可得AB.由f(x)在1,2上递增,可得A=0,3.当a0时,h(x)=|2x2-ax-2|=2x2-ax-2(1x2),在1,2上递增,可得B=-a,6-2a,可得-a036-2a,不成立;当a=0时,h(x)=2x2-2(1x2),在1,
7、2上递增,可得B=0,6,可得0036,成立;当0x=a+a2+1641(负的舍去),h(x)在1,a+a2+164上递减,在a+a2+164,2上递增,则易知h(x)的值域为0,h(2),即0,6-2a,由0036-2a,解得0a32;当2a3时,h(x)在1,a+a2+164上递减,在a+a2+164,2上递增,易知h(x)的值域为0,h(1),即0,a,由003a,解得a=3;当3a4时,h(x)在1,2上递减,可得B=2a-6,a,则2a-603a,无解,不成立;当4a6时,h(x)在1,a4上递增,在a4,2上递减,可得B=2a-6,2+a28,则AB不成立;当68时,h(x)在1,2上递增,可得B=a,2a-6,AB不成立.综上可得,a的取值范围是0a32或a=3.
