1、专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲 函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练2对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.1(2017山东卷)设函数 y 4x2的定义域为 A，函数 yln(1x)的定义域为 B，则 AB()A(1,
2、2)B(1,2C(2,1)D2,1)解析 由 4x20 得2x2，由 1x0 得 x1，故 ABx|2x2x|x1x|2x1，故选 D.答案 D2(2015福建卷)下列函数为奇函数的是()Ay xBy|sinx|CycosxDyexex解析 A 项中的函数为非奇非偶函数，B 项和 C 项中的函数是偶函数，D 项中的函数满足奇函数的定义，故选 D.答案 D3(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2,2B1,1C0,4D1,3解析 f(x)为奇函数，f(1)f(1)1.于是1f(x2)1 等价于 f(1)f(x2
3、)f(1)又 f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.故选 D.答案 D4(2016全国卷)函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解析 f(2)222e28e2，因为 08e21，所以 0f(2)4x，y0，即 y2x2e|x|单调递减；当 x0ex，y0，即 y2x2e|x|单调递增，故选 D.答案 D5(2016四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x0，lnx0，解得 0 x1，故选 C.答案 C2已知函数 yf(x2)的定义域是2,5)，则 yf(3x1)的定义域为()A7,14)B(7,14C.13，83D.13，83解析 因为函数
4、yf(x2)的定义域是2,5)，所以2x5，所以 0 x27，所以函数 f(x)的定义域为0,7)，对于函数 yf(3x1)，03x17，解得13x83，故 yf(3x1)的定义域是13，83，故选 D.答案 D3(2017 赣中南五校联考)函数 f(x)x2x1的值域为_解析 由题意得 2x10，解得 x12，又f(x)x 2x1在12，上为增函数，当 x12时，f(x)取最小值，f(x)minf12 12，且 f(x)无最大值f(x)的值域为12，.答案 12，4(2017福建厦门一模)已知函数 f(x)12ax3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_解析 当 x1
5、 时，f(x)2x11，函数 f(x)12ax3a，x1，2x1，x1的值域为 R，当 x0，12a3a1，解得 0a12.答案 0，12(1)函数定义域问题的 3 种类型已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可抽象函数：根据 fg(x)中 g(x)的范围与 f(x)中 x 的范围相同求解实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义(2)函数值域问题的 4 种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法考点二 函数的图象及其应用1作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换2识图从图象与轴的交点及左
6、、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系3用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错角度 1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式【例 11】(2017全国卷)函数 y sin2x1cosx的部分图象大致为()思维流程 看条件 奇偶性单调性析选项 特殊点、线得结果解析 由题意，令函数 f(x)sin2x1cosx，其定义域为x|x2k，kZ，又 f(x)sin2x1cosxsin2x1cosxf(x)，所以 f(x)sin2x1cosx为奇函数，其图
7、象关于原点对称，故排除 B；因为 f2 sin1cos20，f34 sin321cos34 11 220，lnx，x0 有两个“伙伴点组”，则实数 k 的取值范围是()A(，0)B(0,1)C.0，12D(0，)思维流程 理解伙伴点组 当x0图象 由相切时的k值求范围解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在 yf(x)的图象上，且关于坐标原点对称可作出函数 yln(x)(x0)的图象，使它与直线 ykx1(x0)的交点个数为 2.当直线 ykx1 与 ylnx 的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又 ylnx 的导数为 y1x，则 km1lnm，k1m，解得 m1，k1，可得函数 ylnx(
8、x0)的图象过(0，1)点的切线的斜率为 1，结合图象可知 k(0,1)时两函数图象有两个交点答案 B识别函数图象应关注的 5 点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复(5)取特殊值代入进行检验对点训练1角度 1(2017贵州七校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|xBf(x)exxCf(x)1x21 Df(x)x1x解析 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B、C.若函数为
9、f(x)x1x，则 x时，f(x)，排除 D，故选 A.答案 A2 角 度 2(2017 福 建 漳 州 八 校 联 考)已 知 函 数 f(x)2x1，x0，x2x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是_解析 令 g(x)f(x)m0，得 f(x)m，则函数 g(x)f(x)m有三个零点等价于函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图：当 x0 时，f(x)x2xx1221414，若函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交点，则140)4函数的对称性(1)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2a
10、x)，则 f(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a,0)对称(3)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称角度 1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例 21】(2017北京卷)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数解析 易知函数 f(x)的定义域关于原点对称f(x)3x13x13x3xf(x)，
11、f(x)为奇函数又y3x 在 R 上是增函数，y13x 在 R 上是增函数，f(x)3x13x 在 R 上是增函数故选 A.答案 A 角度 2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合思维流程 fx是R上的偶函数且在，0上单调递增 对称性fx在0，上单调递减 脱去“f”解关于a的不等式解析 解法一：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，)上单调递减又f(2|a1|)f(2)，f(2)f(2)，故 02|a1|2，则|a1|12，所以12af(2)，得|2|a1|2|，则|a1|12，解得12a32.答案 12，32函
12、数 3 个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径尤其注意偶函数 f(x)的性质：f(|x|)f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解【易错提醒】在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域对点训练1角度 1下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是()Ayx22By4x3Cyx1xDyx|x|解析 函数 yx22 是
13、偶函数，选项 A 不满足题意；x增大时，4x3 减小，即 y 减小，y4x3 为减函数，选项 B 不满足题意；yx1x在定义域内不单调，选项 C 不满足题意；yx|x|为奇函数，且 yx|x|x2，x0，x2，x0.yx2 在0，)上单调递增，yx2 在(，0)上单调递增，且 yx2 与 yx2 在 x0处的函数值都为 0，yx|x|在定义域内是增函数故选 D.答案 D2角度 2(2016山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时，fx12 fx12.则 f(6)()A2 B1 C0 D2解析 由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x12时，f(x1)f(x)，所以 f
14、(6)f(511)f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选 D.答案 D热点课题 2 函数图象辨析 感悟体验1(2017长沙模拟)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，的图象大致为()解析 由题意知，f(x)|cosx|sinx，当 x0，2 时，f(x)cosxsinx12sin2x；当 x2，时，f(x)cosxsinx12sin2x，故选 B.答案 B2(2017南昌二模)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 A1B1，CD 的中点，点 M 是 EF 上的动点(不与 E，F 重合)，FMx，过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为 V(x)，则函数 V(x)的大致图象是()解析 当 x0，22 时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当 x22，2 时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选 C.答案 C