1、3函数的单调性和最值课后训练巩固提升一、A组1.下列函数在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=1x+1B.y=2x-1C.y=-xD.y=x2-3x解析:A中函数在区间(0,+)上单调递减;B中函数在区间(0,+)上单调递增;C中函数在区间(0,+)上单调递减;D中函数在区间(0,+)上不具有单调性.答案:B2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是()A.2,+)B.(-,2C.-2,+)D.(-,-2解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a1是(-,+)上的增函数,那么实数a的取值范围是.解析:依题意得a+30,2a0
2、,解得-3a0.又f(x)在(-,+)上是减函数,所以在分段点处需满足(a+3)1-52a,即a-22a,即a-2.综上可得,实数a的取值范围是-2a0)在区间1,3上的最大值为4,则a=.解析:a0,函数y=ax+1在区间1,3上单调递增,ymax=3a+1=4,解得a=1.答案:17.函数y=-x2+3x,x0,x2-3x,x0的单调递增区间是.解析:画出函数y=-x2+3x,x0,x2-3x,x0的图象(草图)如图,观察图象知函数的单调递增区间是0,32.答案:0,328.已知函数f(x)=2x-1(x2,6).(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.解:(
3、1)函数f(x)在x2,6上是减函数.证明:设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2(x2-1)-(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).由2x10,(x1-1)(x2-1)0,于是f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=2x-1是区间2,6上的减函数.(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在x=2处取得最大值,最大值是2,在x=6处取得最小值,最小值是25.9.已知函数f(x)=a-2x.(1)若2f(1)
4、=f(2),求a的值;(2)判断f(x)在区间(-,0)上的单调性并用定义证明.解:(1)2f(1)=f(2),2(a-2)=a-1,a=3.(2)f(x)在区间(-,0)上是增函数,证明如下:任取x1,x2(-,0),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-2x1-a-2x2=2x2-2x1=2(x1-x2)x1x2.x1x20,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)=a-2x在区间(-,0)上是增函数.10.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2 m,渠深为1.8 m,斜坡的倾斜角是45.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水
5、深h(m)的函数;(2)画出函数的图象;(3)确定函数的定义域和值域.解:(1)由已知,横断面中的水面为一等腰梯形,下底为2m,上底为(2+2h)m,高为hm,则水的面积A=2+(2+2h)h2=(h2+2h)m2.(2)由于A=(h2+2h)=(h+1)2-1,其图象的对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0)两点,又考虑到0h1.8,A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如图所示.(3)定义域为h|0h1.8,值域由一元二次函数A=h2+2h(0h1.8)求得.由(2)中函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自
6、变量的增大而增大,0A6.84,故函数的值域为A|0A6.84.二、B组1.已知函数f(x)=1x,则函数y=f(x-1)+1的单调递减区间为()A.(0,1)B.(-,0)C.x|x1D.(-,1)和(1,+)解析:因为函数f(x)=1x的单调递减区间是(-,0)和(0,+),又y=f(x-1)+1=1x-1+1,故可知y=1x-1+1的单调递减区间是(-,1)和(1,+).答案:D2.函数f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在(-,+)上的减函数,则实数a的取值范围是()A.18,13B.0,13C.0,13D.-,13解析:由函数f(x)在(-,+)上是减函数知,一方
7、面要满足每一段函数是单调递减的,则有3a-10,且-a0,解得0a13;另一方面整个函数表现为单调递减,则需要在分段点处的值满足(3a-1)1+4a-a1,解得a18.综上可知,实数a的取值范围是18a13.答案:A3.函数f(x)=-x+1x在区间-2,-13上的最大值是()A.32B.-83C.-2D.2解析:因为函数f(x)=-x+1x在区间-2,-13上单调递减,所以当x=-2时取得最大值,且为2-12=32.答案:A4.已知函数f(x)为定义在区间-1,1上的增函数,则满足f(x)f12的实数x的取值范围为.解析:由题意得-1x1,x12,解得-1x0)满足:f(xy)=f(x)+f
8、(y),当x0,且f12=1.(1)证明:y=f(x)是(0,+)上的减函数;(2)解不等式f(x-3)f1x-2.(1)证明:设0x1x2,则0x1x20,即f(x1)f(x2),y=f(x)是(0,+)上的减函数.(2)解:由函数的定义域知x-30,1x0,解得x3.又f12=1,f14=f1212=f12+f12=1+1=2.由f(x-3)f1x-2,得f(x-3)+2f1x,即f(x-3)+f14f1x,即fx-34f1x,由(1)得x-341x,解得-1x4.综上所述,所求不等式的解集为(3,4).7.已知函数f(x)=2x-1x+1.(1)判断并证明函数f(x)在区间0,+)上的单
9、调性;(2)若x1,m时函数f(x)的最大值与最小值的差为12,求m的值.解:(1)函数f(x)在区间0,+)上单调递增.证明如下:任取x1,x20,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2-3x1+1-2-3x2+1=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1).因为x1,x20,+),且x1x2,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解:f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3.原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2).任取x1,x2R,且x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f
10、(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).故f(x)在R上是增函数.3m2-m-22,解得-1m14.当a21时,即a2时,函数f(x)在区间1,2上单调递增,M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,M-m=4-2a-1+a=3-a114.当1a232,即2a3时,M=f(2)=4-2a,m=fa2=-14a2,M-m=4-2a+14a2=14(a-4)2,记函数y=4-2a+14a2,其在区间2,3上单调递减,ymin=14,M-m14;当32a22,即3a4时,M=f(1)=1-a,m=fa2=-14a2,M-m=1-a+14a2=14(a-2)2,记函数y=1-a+14a2,其在区间3,4上单调递增,ymin=14,M-m14.综上所述,M-m14.