1、函数与导数专 题 五 11函数综合题：通常是将函数的定义域、值域、图象的作法及变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等全部或部分知识交织在一起，要求解决相关问题的一种综合性试题同时还必须透彻理解高考中常涉及到的四种特殊函数分段函数、抽象函数、周期函数、复合函数定义：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的解析式，这样的函数叫做分分段函数段函数 00023421f xxx定义域：分段函数的定义域是自变量的各段取值范围的并集函数值：求分段函数的函数值时，应该首先判断 所属的取值范围，然后再把 代入到相应的解析式中进行计算函数图象：分段函数的图象由各段上图象组成抽象函数是指
2、没有给出具体的函数解析式，而只是给出该函数所具备的某些性质抽象函数的函数 2()常见的以初等函数为模型的抽象函数有 见下表 03.)2(1yf xTxf xTf xyf xTT Tf xTf x定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当 取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数 叫做这个函数的周期性质：若是的周期，则也是周数期函的周期 (0)()(04)1T Tf xnT nf xf xTkT kkf xyf uAug xBBAyxyfg xfgufgZ若是的周期，则为任意非零整数 也是的周期若有最小正周期，那么，也是的周期定义：设的定义域为，的值域为，若，
3、则 关于 函数叫做函数 与 的复合函数，叫中间量，称为外层函数，称为复合内数函层函数 2yfg xyfg x性质：复合函数的单调性：规律还可总结为：“同性复合得增，异性复合得减”，即“同增异减”复合函数的奇偶性：内外函数中至少有一个为偶函数时，为偶函数，只有当内外两个函数均为奇函数时，奇函数1221222522log15()57A.B 3 C.D 422xxxxxxxx若 满足，满足，那么 例:1考点1 函数与方程的综合125225log1:.12xxxxtx 对两个方程变形可得和易发现两个方分析程在结构上类似，然后令，再利用数形结合解决1222111332log.223lo:g22tttxx
4、tttttttytytyAB 令，则，且 ，所以 满足，满足设函数的图象与，解析的图象的交点依次是、，如图所示21212122log33 3()24 43322371.2C12tAByytyxytytCCABxxttxxxx 因为和互为反函数，其图象关于对称又由于函数和的图象交于一点，根据反函数与原函数的对称关系知点 是的中点，故，即，所以，即，故选本题实际是求解方程根的问题解答此类题型时要充分抓住反函数与原函数的互换性与图象的对称性等知识，沟通两个函数之间的联系，进而使问题得解如果所给两个方程在结构上的类似不明显，常常须【思维启迪】进行变形2430_xxxaa关于 的方程有三个不相等的实数根
5、，则实数 的值是变式题：222224343143431.14310yxxyayxxyayyxxxxxax令与，则在同一坐标平面作出函数与的图象，如右图由图象知直线与的图象有三个交点，即方程，也就是方程有三个不相等的实数根因此，解析：(02()A2 B2C22 D22yf xf afaaaaaa R函数是 上的偶函数，且在，上是增函数，若，则实数 的取值范围是 :或例2考点2 函数与不等式的综合 000:)aaaaf x 由于参数 的取值不确定，因此对 分和 进行讨论，同时可根据奇偶性确定在，分析上的单调性 (00)02202222.|22:D.yf xyf xaf afaayf xfff af
6、aaa aa 函数是偶函数，且在，上是增函数，所以函数在，上是减函数当时，由，得；当 时，由于是偶函数，所以，则，所以由上可知，实数 的取值范围是或，故选解析 120)|f xaaf xfxfx 本题解答时注意两点：根据奇偶性判断函数在区间，上的单调性；因为 的范围不确定，因此须注意参数 的【思维启迪分类讨论另外可考虑利用偶函数的特性进行转化，可减少繁杂】的讨论过程 22222()350)()(2)22()335A()(2)B()(2)2223535C()(2)D()(2)2222f xff aaff aaff aaff aaff aa 若是偶函数，其定义域为，且在，上是减函数，则与的大小关系
7、是 .变式题：222233()()22533212220)35()(2)2235()(2C2.)2f xffaaaf xff aaff aa 因为是偶函数，所以，又因为，则由函数在，上是减函数，得即解，故选析：21()131014112xf xh xxxg xr xxyxF xf xg xF xF xABAByABR已知函数是的反函数，函数的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形，记求函数的解析式及定义域；试问在函数的图象上是否存在两个不同的点，使直线恰好与 轴垂备选直？若存在，求出，坐标；若不存在，说例题:明理由 211lg101111lg1:xyyxyxf xx由，得，所以解析，12:h x
8、f xr xg xF xAB第小题通过求的反函数得的解析式，求与图象对称的函数得，由此确定的解析式及定义域；第小题假设存在，两点，然后对两个点的纵坐标作差分析进行推理 112212124313111111 3211lg12()()1,121 1.xyyyxxxxyg xyxxF xxxF xF xA xyB xyyxxyy 由，得关于对称的曲线方程，得，所以，易知函数的定义域为设上存在不同的两点，连线与 轴垂直，设 ，则有 1212121122121212122112122112211212111lglg121111lg().2112211111111022011lg()0111,1(xxyy
9、F xF xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyABF xxxy 又由 ，得，所以不存在直线与 轴垂直在所以，所以 ，上)单调递减 2ABAB本题第小题是一个探索存在型问题，解答规律是假设、两点存在，求出、或导出矛盾推理过程实质上是利用证明函数单调【思性维启迪】的思想121212“”xxxxxxf解答分段函数的主要策略是时刻抓住“对号入座”，进行 分段处理 但必须注意各段的定义域范围解答抽象函数的方法：求函数的值，通常利用“赋值法”；判断抽象函数的奇偶性，常将 换为；判断单调性原则是常常任取，且；与不等式结合的试题，常常利用函数的单调性去掉符号“”；处理客观题中常常可联想抽象函
10、数的原型函数等 .(0)12423xf xTf xTf xaf xaf xaf xaf xaaf xf xf xxaaf xf xxaxbbaf x 判断一个函数是否为周期函数要抓住两点：对定义域中任意的 恒有，能找到适合这一等式的非零常数一般来说，周期函数的定义域均为无限集同时还可采用相关结论：如函数，或，或，则为的一个周期；奇函数的对称轴为，则为的一个周期；关于直线和对称，则为的一个一是二是周期等4解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，确定由哪个内函数和哪个外函数复合而成的求复合函数的定义域，主要是利用内函数的值域与外函数的定义域的关系来解决；处理复合函数的单调性，须考查内外两个函数的单
11、调性；如果根据复合函数的解析式求内函数或外函数的解析式，则通常利用换元法等5在解决函数的综合题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步转化为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法的应用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能，因此必须全面掌握函数的知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 201215()21111A1.(2011)B C.D.2442f xxf xxxf设是周期为 的奇函数，当时，则全国大纲卷 20121511()()()2221 2(1.1)2:2f xxf xxxfff 因为是周期为 的奇
12、函数，当时，所以解 2010120A 120 B 910C 911 D2.(201110)11 植树节某班名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 到依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 和 和 和卷和陕西222222222221102102010.122020420(1220)20420(1220)10.1011.5.:xSxxxSyxxxxxyxxxxx设树苗可以放置的最佳坑位的编号为，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：若 取最小值，则函数也取最小值由二次函数的性质，可得函数的对称轴为又因为 为正故，或整数解
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