1、福建省福州市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（完卷120分钟 满分150分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【详解】由三角函数的定义得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.2.一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
2、】【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，因此，秒针的端点所走的路线长.故选：C.【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.3.函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【详解】解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，为所在平面内的一点，且满足
3、，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点的坐标为，根据向量的坐标运算得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出点的坐标.【详解】设点的坐标为，即，解得，因此，点的坐标为.故选：A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.5.，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出弧度角正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、的大小关系.【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，其中虚线表示的是角的终边，则，即.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思
4、想的应用，属于基础题.6.将函数图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，那么可以取的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出的表达式，利用赋特殊值可得出结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为，解得，当时，.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.7.已知定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【
5、答案】C【解析】【分析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，且，所以，函数的周期为，则.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）8.下列关于函数的相关性质的命题，正确的有（ ）A. 的定义域是B. 的最小正周期是C. 的单调递增区间是D. 的对称中心是【答案】AC【解析】【分析】分别求出函数的定义域、最
6、小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误.【详解】对于A选项，令，解得，则函数的定义域是，A选项正确；对于B选项，函数的最小正周期为，B选项错误；对于C选项，令，解得，则函数的单调递增区间是，C选项正确；对于D选项，令，解得，则函数的对称中心为，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题.9.是边长为的等边三角形，已知向量、满足，则下列结论中正确的有（ ）A. 为单位向量B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】求出可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出，可判断C选项的
7、正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，则，A选项正确；对于B选项，B选项正确；对于C选项，所以与不垂直，C选项错误；对于D选项，所以，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10.以下函数在区间上为单调增函数的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A选项，当时，所以，函数
8、区间上不单调；对于B选项，当时，所以，函数在区间上单调递增；对于C选项，当时，所以，函数区间上不单调；对于D选项，当时，所以，函数在区间上单调递增.故选：BD.【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.11.下列命题中，正确的有（ ）A. 向量与是共线向量，则点、必在同一条直线上B. 若且，则角为第二或第四象限角C. 函数是周期函数，最小正周期是D. 中，若，则为钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出
9、角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，向量与共线，则或点、在同一条直线上，A选项错误；对于B选项，所以，则角为第四象限角，如下图所示：则为第二或第四象限角，B选项正确；对于C选项，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；对于D选项，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，则为钝角三角形，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线
10、向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12.已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简等式，可求出的值，将所求分式变形为，在所得分式的分子和分母中同时除以，将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于基础题.13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正切公式可计算出的值.【详解】由两角差的正切公式得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的
11、关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14.已知非零向量、满足，在方向上的投影为，则_.【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的几何意义得出，在等式两边平方可求出的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.【详解】，在方向上的投影为，可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.15.已知为的外心，且；当时，_；当时，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）由可得出为的中点，可知为外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出；（2）推导出外心的数量积
12、性质，由题意得出关于、和的方程组，求出的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出的值.【详解】当时，由可得，所以，为外接圆的直径，则，此时；如下图所示：取的中点，连接，则，所，同理可得.所以，整理得，解得，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.在平面直角坐标系中，已知，.（）若，求实数的值；（）若，求实数的值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（
13、）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（），解得；（），解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17.已知函数.（）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（）请描述如何由函数的图象通过变换得到的图象.【答案】（）图象见解析；（）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（）分别令取、，列表、描点、连线可作出函数在一个周期内的图象简图；（）根据三角函数图象的变换原则可得出函数的图象通过变换得到的图象的变换过程.【详解】（）列表如下：函数在一个周期内的图象简图如下图所示：（）总共有种变换方式，如下所示
14、：方法一：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；方法二：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象；方法三：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；方法四：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；方法五：先将函数的图象上每个点
15、的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；方法六：先将函数的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪个时间段实验室需要降温？【答案】（）；（）从中午点到晚上点.【解析】【分析】（）利用
16、辅助角公式化简函数的解析式为，由此可得出实验室这一天的最大温差；（）由，得出，令，得到，解此不等式即可得出结论.【详解】（），.因此，实验室这一天的最大温差为；（）当时，令，得，所以，解得，因此，实验室从中午点到晚上点需要降温.【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_；（）在的一条对称轴；的一个对称中心；的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计
17、分.【答案】（）选或或，；（）当或时，线段的长取到最大值.【解析】【分析】（）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.选，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；（）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.【详解】（）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，此时.若选，则函数的一条对称轴，则，得，当时，此时，；若选，则函数的
18、一个对称中心，则，得，当时，此时，；若选，则函数的图象过点，则，得，解得，此时，.综上所述，；（）令，当或时，即当或时，线段的长取到最大值.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.20.在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.（）试用、表示和；（）若，求的最小值.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；（）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次
19、函数的基本性质可求出的最小值.【详解】（）如下图所示，过点作，交于点，由于为等腰梯形，则，且，即，又，所以，四边形为平行四边形，则，所以，为等边三角形，且，；（），由题意可知，由得出，所以，令，则函数在区间上单调递减，所以，因此，的最小值为.【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21.已知函数.（）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；（）由题意可知，则，
20、令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.【详解】（），对任意的实数，恒有成立，则区间是不等式解集的子集，解得，因此，实数的取值范围是；（），由题意可知，令，得，令，则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：作出函数在时的图象如下图所示：当或时，即当或时，方程无实根，此时，函数无零点；当时，即当时，方程的根为，而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；当时，即当时，方程有两根、，且，方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；当时，即当时，方程有两根分别为、，方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；当时，即当时，方程只有一个实根，且，方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；当时，即当时，方程只有一个实根，方程在区间上只有一个实根，此时，函数只有一个零点. 综上所述，当或时，函数无零点；当时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点；当时，函数有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.