1、2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题课后训练巩固提升一、A组1.下列命题中全称量词命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分;梯形有两边平行;存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3解析:是全称量词命题,是存在量词命题.答案:C2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是()A.a,bR,a2+b2+2ab=(a+b)2B.a0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.a0,b0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.a,bR,a2+b2+2ab=(a+b)2解析:由于所给的等式对a,bR均成立,故选D.答案:D3.下列命题中的真命题是()A.存在
2、xN,使4xx2D.对任意xR,x2+20解析:当xR时,x20,所以x2+220.答案:D4.已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是()A.x1R,f(x1)=f(x0)B.x1R,f(x1)f(x0)C.xR,f(x)f(x0)D.xR,f(x)f(x0)解析:当a0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-b2a为抛物线顶点的横坐标,所以f(x)min=f(x0),故对于xR,f(x)f(x0)成立,从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.答案:C
3、5.下列命题不是“xR,x23”的表述方法的是()A.有一个xR,使x23B.对有些xR,使x23C.任选一个xR,使x23D.至少有一个xR,使x23解析:选项C中“任选一个”是全称量词,没有“”的含义.答案:C6.下列存在量词命题是真命题的是.(填序号)有些不相似的三角形面积相等;存在一个实数x,使x2+x+10,所以不存在实数x,使x2+x+10时,结论成立,为真命题;中如1的倒数是它本身,为真命题,故选.答案:7.用量词符号“”“”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x都能使5x+10成立;(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=
4、10成立;(4)所有的有理数x都能使13x2+12x+1是有理数.解:(1)xR,5x+10;假命题.(2)a,bR,方程ax+b=0恰有一个解;假命题.(3)x,yZ,使3x-2y=10;真命题.(4)xQ,13x2+12x+1是有理数;真命题.8.已知命题p:x1,2,x2-a0为真命题,求实数a的取值范围.解:由命题p为真,可知x2a对x1,2恒成立,即a(x2)min,x1,2,又(x2)min=1,x1,2,所以a1,故实数a的取值范围是(-,1.二、B组1.命题“x2,3,x2-a0”是真命题的一个充分条件,但不是必要条件的是()A.a9B.a9C.a10D.a10解析:x2-a0
5、,对x2,3恒成立,则ax2在x2,3上恒成立.令g(x)=x2,x2,3,则g(x)max=9,所以a9.故要求题干要求的一个充分条件,但不是必要条件,只需求集合a|a9的一个真子集,观察四个选项知,只有选项C符合.故选C.答案:C2.已知命题p:xN,使x3x2,命题q:一元二次函数y=x2+x-3的图象的顶点为(-12,-134),则()A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真解析:由x3x2,得x2(x-1)0,解得x0,或0x0对于任意xR恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式x2-2x+5+m0可化为m-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m-(x-1)2-4对于任
6、意xR恒成立,只需m-4即可,即所求实数m的取值范围为m-4.答案:m-44.下列命题:存在xx;对于一切xx;已知an=2n,bn=3n,对于任意nN+,都有anbn;已知A=a|a=2n,B=b|b=3n,对于任意nN+,都有AB=3.其中是真命题的有.(填序号)解析:命题显然为真命题;由于an-bn=2n-3n=-n,对于nN+,都有anbn,即anbn,故为真命题;已知A=a|a=2n,B=b|b=3n,如n=1,2,3时,AB=6,故为假命题.答案:5.若xR,关于x的方程m(x2-1)+x-a=0都有根,求实数a的取值范围.解:(1)当m=0时,x-a=0有一个根.(2)当m0时,
7、m(x2-1)+x-a=0有根的充要条件是=1+4m(m+a)=4m2+4am+10恒成立,又因为4m2+4am+10是一个关于m的二次不等式,此不等式恒成立的充要条件是=(4a)2-160,解得-1a1.综上,当m=0时,aR;当m0时,a-1,1.6.已知命题p:存在x1,2,使x2-a0与命题q:存在xR,使x2+2x+3+a=0都是真命题,求实数a的取值范围.解:因为命题p为真命题,所以当x1,2时,a(x2)max,而当x1,2时,x2的最大值是22=4,所以a4.命题q为真命题,即方程x2+2x+3+a=0有解,因而有=22-4(3+a)0,解得a-2.因为p,q都是真命题,所以有a-2,a4,即a-2.综上所述,a的取值范围为(-,-2.
