1、习题课三角恒等变换课后训练巩固提升A组1.已知sin -cos =65,则sin 2=()A.-1425B.-1125C.1125D.1425解析:因为sin-cos=65,所以(sin-cos)2=3625,即sin2+cos2-2sincos=3625,即1-sin2=3625.所以sin2=-1125.答案:B2.函数f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1的最小正周期为()A.2B.C.2D.4解析:由题意可知f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1=|sinx-cosx|=2sinx-4.结合函数f(x)=2sinx-4的图象,可得函数f(x)的最小正周期为,故选B.
2、答案:B3.已知sin 2=23,则cos2+4等于()A.16B.13C.12D.23解析:因为cos2+4=1+cos2+42=1+cos2+22=1-sin22=1-232=16,所以选A.答案:A4.函数y=cos2x-12+sin2x+12-1是()A.周期为2的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为2的偶函数解析:y=cos2x-12+sin2x+12-1=1+cos2x-62+1-cos2x+62-1=cos2x-6-cos2x+62=cos2xcos6+sin2xsin6-cos2xcos6+sin2xsin62=sin2x2,函数的周期为22=,且sin(-2x
3、)=-sin2x.故选C.答案:C5.若函数f(x)=12cos x-32sin x(0)在区间0,内的值域为-1,12,则的取值范围为()A.23,43B.0,43C.0,23D.(0,1解析:由题意可知f(x)=12cosx-32sinx=cosx+3,且0,当x0,时,f(x)-1,12,故-1cosx+312,可得x+353,解得2343,故的取值范围为23,43.答案:A6.已知a=22(sin 16+cos 16),b=2cos214-1,c=sin 37sin 67+sin 53sin 23,则a,b,c的大小关系为.解析:a=cos45sin16+sin45cos16=sin6
4、1,b=cos28=sin62,c=sin37cos23+cos37sin23=sin60,又函数y=sinx在区间0,2内单调递增,cab.答案:ca0,(1)比较f6和f2的大小;(2)求函数f(x)在区间-2,2上的最小值.解:(1)因为f6=a2-12,f2=a+1,所以f2-f6=(a+1)-a2-12=a2+32.因为a0,所以a2+320,所以f2f6.(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1,设t=sinx,x-2,2,所以y=2t2+at-1,t-1,1,其图象的对称轴为直线t=-a4.当t=-a44时,在t=
5、-1时函数y取得最小值1-a;当t=-a4-1,即04时,函数f(x)在区间-2,2上的最小值为1-a;当0a4时,函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-a28-1.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角,的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若712,=12,且点A的坐标为(-1,m).(1)若tan 2=-43,求实数m的值;(2)若tanAOB=-34,求sin 2的值.解:(1)由题意可得tan2=2tan1-tan2=-43,解得tan=-12或tan=2.712,tan=-12.又角的终边与圆O交于点A(-1,m),tan=m-1,即m-1=-12.m=12.(2)
6、tanAOB=tan(-)=tan-12=sin-12cos-12=-34,又sin2-12+cos2-12=1,-122,1112,sin-12=35,cos-12=-45.sin2-6=2sin-12cos-12=-2425,cos2-6=2cos2-12-1=725.sin2=sin2-6+6=sin2-6cos6+cos2-6sin6=7-24350.B组1.在ABC中,sin Asin B=cos2C2,则下列等式一定成立的是()A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C解析:C=-(A+B),sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(
7、cosAcosB-sinAsinB).12cosAcosB+12sinAsinB=12.cos(A-B)=1.0A,0B,-A-B0)的最小正周期为,且f()=12,则f-2=()A.-52B.-92C.-112D.-132解析:由题意可得f(x)=3sinxcosx-4cos2x=32sin2x-2(1+cos2x)=52sin(2x-)-2其中tan=43,故f(x)max=52-2=12,f(x)min=-52-2=-92.因为f()=12,所以当x=时,函数f(x)取得最大值.又因为函数的周期为,所以当x=-2时,函数f(x)应取得最小值-92,即f-2=-92.答案:B4.已知tan
8、(-)=23,tan6-=12,则tan-6=()A.14B.78C.18D.74解析:tan(-)=23,tan6-=12,tan-6=tan(-)-6-=tan(-)-tan6-1+tan(-)tan6-=23-121+2312=18.答案:C5.若cos2sin+4=23,则sin cos =.解析:cos2sin+4=23,cos2-sin222(sin+cos)=23,即(cos-sin)(sin+cos)22(sin+cos)=23.cos-sin=13.两边平方,得1-2sincos=19,即sincos=49.答案:496.已知0,4,sin+4=45,则tan =.解析:因为
9、04,所以4+42.又因为sin+4=45,所以cos+4=1-452=35.所以tan+4=43.所以tan=tan+4-4=43-11+431=17.答案:177.已知函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间-6,m上的值域为0,3,求m的取值范围.解:(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x+1=2sin2x+6+1,由2k-22x+62k+2(kZ),得k-3xk+6(kZ),所以f(x)的单调递增区间是k-3,k+6(kZ).(2)由(1)知f(x)=2sin2x+6+1.由x-6
10、,m,知2x+6-6,2m+6.要使得f(x)在区间-6,m上的值域为0,3,即y=sin2x+6在区间-6,m上的值域为-12,1.故22m+676,即6m2.8.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成RtFHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=103米,记BHE=.(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;(2)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.解:(1)由题意可得EH=10cos,FH=10sin,且为锐角,故EF=EH2+FH2=10sincos.BE=10tan103,AF=10tan103,33tan3.6,3.L=10cos+10sin+10sincos,6,3,即L=10sin+cos+1sincos,6,3.(2)设sin+cos=t,则sincos=t2-12.6,3,t=sin+cos=2sin+43+12,2.L=20t-1.L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,当t=3+12,即=6或=3时,L取得最大值为20(3+1)米.