1、福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月月考高三数学试卷(满分150分，考试时间120分钟)第卷(选择题共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则()A. B. C. D. 2. “”是“”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 若复数满足，则在复平面上对应的点位于()A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 已知为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是()A. B. C. D.5三个数的大小关系是()A
2、B C D6. 如图，是单位圆O的直径，点是半圆弧上的两个三等分点，则()A. 1 B. C. D. 7. 已知等于()A. B. C. D. 8 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为() A B C D二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌为了研究某城市甲、乙两个华
3、为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是()A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在31，32内B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少10.已知函数，则下列结论正确的是()A函数是周期函数 B函数在上有4个零点C函数的图象关于对称 D函数的最大值为11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是()A. 是等比数列 B. 当
4、C. 当 D. 12. 记函数与的定义域的交集为I，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有()A. B. C. D.第卷(非选择题共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知若，则_14. _ .15.设椭圆的焦点为，点在椭圆上，若为直角三角形，则的面积为_16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)如取正整数6，根据上述运算法则得出63105168421，共
5、需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)现给出冰雹猜想的递推关系如下：当时，试确定使得需要_步雹程；若，则所有可能的取值所构成的集合_(本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)已知正三棱柱的底面边长为2，点分别为棱与的中点(1) 求证：直线平面；(2) 若该正三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的余弦值18. (本小题满分12分)在 ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答问题：已知的三边所对的角分别为.若，_，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19(本小题满分12分
6、)记数列的前项和为，若，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求的表达式20(本小题满分12分)已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点共线，直线的斜率分别为（1）证明：；（2）当直线过点时，求的最小值；（3）若，证明：为定值22. (本小题满分12分)已知函数(1) 当时，求的最小值；(2) 若对任意恒有不等式成立求实数的值；求证：.福清西山学校高中部2020-2021学年度第一学期月考高三数学试卷答案选择题：题号123456789101112答案ABBCDCBAABDACDABCBD四、 填空题：本大题共4小
7、题，每小题5分，共20分13. 2 14. .15. 16. 9 1，8，10，64 (本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)(1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，.(1分)在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，所以EDCB.在B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，所以FDA1B.(3分)又ED，FD平面EFD，EDFDD，所以平面EFD平面A1BC.又EF平面EFD，所以EF平面A1BC.(5分)(2) 解：设AA1h，VABCA1B1C1SA
8、BCh4h，所以h2，即h2.(6分)因为平面ABC平面A1B1C1，所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角因为CC1平面A1B1C1，所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，所以EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角.(8分)因为EC1，FC1，所以EF，所以cosEFC1，即EF与平面ABC所成角的余弦值为.(10分)18. (本小题满分12分)解：选：由sin Bcos B2得sin(B)1，所以B.(2分)选：由cos 2Bcos B20得2cos2Bcos B30，解得cos B，所以B.(2分)选：由b2a2c2ac得c2a2b2ac，得cos B，所
9、以B.(2分)因为，所以sin C.(4分)所以C或C.(6分)当C时，A.又a4，所以b2，c2.(7分)所以面积S222.(9分)当C时，A，所以AB.又a4，所以b4.(9分)所以面积S444.(12分)19(本小题满分12分)（1）因为，故，.(2分)则，则，.(4分)故，故是以4为首项，2为公比的等比数列；.(6分)（2）由（1）可知，故，故.(8分).(10分).(12分)20(本小题满分12分)【解析】（1）当时，解得；当时，.(2分)，.(3分)两式相减可得，.(4分)解得，易知也符合上式，综上所述，.(6分)（2）依题意：，下面先求数列的前项和；，两式相减可得，.(8分)即.
10、(10分)所以，.(11分)化简可得，故.(12分)21（本小题满分12分）【解】（1）由题知关于原点对称，则可设因为点在椭圆上，所以，所以，所以 2分（2）设直线，代入可得，所以，因此， 4分因为，所以 设，则，等号当仅当时取，即时取等号 所以的最小值为8 7分（3）不妨设，由，所以 8分将直线的方程为代入可得，即因为，所以方程可化为所以，即，所以，即.10分所以 12分22. (本小题满分12分) (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，).(1分)由题意f(x)(x1)(ex)(x1)，令xexa0，得axex，令g(x)xex，g(x)exxex(x1)ex0，所以g(x)在x(
11、0，)上为增函数，且g(0)0，所以axex有唯一实根，即f(x)0有唯一实根，设为x0，即ax0ex0，.(3分)所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，)上为增函数，所以f(x)minf(x0)x0ex0a(ln x0x0)aaln a.(5分)(解法2)f(x)xexa(ln xx)eln xxa(ln xx)(x0)设tln xx，则tR.记(t)etat(tR)，故f(x)最小值即为(t)最小值.(3分)(t)eta(a0)，当t(，ln a)时，(t)0，(t)单调递减，当t(ln a，)时，(t)0，(t)单调递增，所以f(x)min(ln a)eln aaln aaal
12、n a，所以f(x)的最小值为aaln a.(5分)(2) 解：当a0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；.(6分)当a0时，由(1)可知f(x)minaaln a.设(a)aaln a(a0)，所以(a)ln a，当a(0，1)时，(a)0，(a)单调递增，当a(1，)时，(a)0，(a)单调递减，所以(a)max(1)1，即aaln a1.(7分)由已知f(x)1恒成立，所以aaln a1，所以aaln a1，所以a1.(8分)证明：由可知xexln xx1，因此只需证x2x2ln x2sin x.因为ln xx1，只需证x2x2x22sin x，即x2x22sin x.(10分)当x1时，x2x222sin x，结论成立；当x(0，1时，设g(x)x2x22sin x，g(x)2x12cos x，当x(0，1时，g(x)显然单调递增g(x)g(1)12cos 10，故g(x)单调递减，g(x)g(1)22sin 10，即x2x22sin x.综上，结论成立.(12分)
