1、第2章 第4节一、选择题1函数y(cosxa)21，当cosxa时有最小值，当cosx1时有最大值，则a的取值范围是()A1,0B1,1C(，0 D0,1答案D解析函数y(cosxa)21，当cosxa时有最小值，1a1，当cosx1时有最大值，a0，0a1.2(2011长沙调研)已知函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2) D与a的值有关答案C解析根据函数的图像开口向下，对称轴为x，又依题意得x10，且x1与x2关于y轴对称，则x1到x的距离大于x2到x的距离，即x1x2，故f(x1)0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()答案D解析若a0，则只能是
2、A或B选项，A中0，b0，与A图不符；B中0，b0，c0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b0时，有c0与C、D图不符，当b0时，有c0，f(0)c0，f(p)0 Bf(p1)0，知f(1)0.又f(p)0，则必有1p0，f(p1)0.6已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0C1 D2答案C解析f(x)(x2)24a.由x0,1可知当x0时，f(x)取得最小值2，即a2，所以f(x)(x2)22，当x1时，f(x)取得最大值1.7(北师大天津附中模拟)已知函数f(x)满足f(x4)f(x)，又f(3x)f(3x)，当1x5时，f(x
3、)x2bx2，若mf(ln)，nf(ln8)，pf()，则m、n、p的大小关系是()Anpm BnmpCpmn Dpnm答案A解析f(3x)f(3x)，f(1)f(5)1b2255b2.4b24，b6.0ln1，44ln5.f(ln)f(4ln)f()f()f(2)2lne2ln8lne33，f(ln8)f()f(ln)，即np0，a(a4)0，a4，则a的最小值为5，故选D.二、填空题9若函数yx2(a2)x3，xa，b的图像关于直线x1对称，则b_.答案6解析二次函数yx2(a2)x3的图像关于直线x1对称，说明二次函数的对称轴为1，即1，所以a4.而f(x)是定义在a，b上的，即a，b关
4、于x1也是对称的，所以1，b6.10(2011广东深圳一模)已知定义在区间0,3上的函数f(x)kx22kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为_答案1，3解析f(x)kx22kxk(x1)2k(1)当k0时，二次函数开口向上，当x3时，f(x)有最大值， f(3)k322k33k3k1；(2)当k0恒成立，m(，0)(4，)，m0,4三、解答题12已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数分析由题目条件知二次函数过(2，1)，(1，1)两点，且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式解题解析方法1：利用二次函数一般式设f(x)ax2bxc(a
5、0)由题意得解得所求二次函数为y4x24x7.方法2：利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x，m.又根据题意函数有最大值y8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4.f(x)4284x24x7.方法3：利用二次函数的两根式由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8，解得a4或a0(舍去)所求函数解析式为f(x)4x24x7.13已知函数f(x)x22ax1a在0x1时有最大值2，求a的值分析作出函数图像，因对称轴xa位置不定，故分类讨论
6、对称轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况解析当对称轴xa0时，如图1所示当x0时，y有最大值，ymaxf(0)1a.1a2，即a1，且满足a1，如图3所示图3由图可知，当x1时y有最大值，ymaxf(1)2aa2，a2，且满足a1，a2.综上可知，a的值为1或2.14(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)(1)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围解析(1)f(x)2x0的解集为(1,3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，即f(x)a(x1)(x3)2xax2(24
7、a)x3a.由f(x)6a0，得ax2(24a)9a0.方程有两个相等的根，(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a. 由于a0，故舍去a1，将a代入，得f(x)x2x. (2)f(x)ax22(12a)x3a a2.由a0，由解得a2或2a0，f(1)0，求证：(1)a0且20，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去b，得ac0；由条件abc0，消去c，得ab0. 故21. (2)抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为(，)，在21的两边乘以，得0，f(1)0，而f()0，所以方程f(x)0在区间(0，)与(，1)内分别有一实根故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根