1、江西省宁都中学2020届高三数学下学期线上教学检测试题 理（含解析）第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合，则MN=（ ）A. B. x|-2x0C. x|-2x1D. x|0xbcB. bacC. cabD. acb【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.【详解】对于，因为在上单调递增，即对于，因为在定义域内单调递增，即对于，因为在上单调递减，则则综上，故选：A【点睛】本题较易。只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间.5.某单位去年的开支分布的折
2、线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.6.函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.【详解】由题意得，即为偶函数，故排除A；当，根据图像走势，排除B,D故选：C【点睛】解答此类问题可从函
3、数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.7.为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框应填入（ ）A. B. iC. i6，S=7SD. i6，S=7S【答案】A【解析】【分析】根据题干知所求为方差，利用方差公式特点即可得出答案.【详解】由题可知，该组数据共有七项，为使数据全部可以输入流程图中，则，排除B、D选项；由方差公式可知，所有项之和要乘以项数的倒数，即，排除C故选：A【点睛】本题较易，只需根据求方差公式特点和流程图即可得到答案，无需将数据代入.8.已知数列满足，则展开式中的常数项为（ ）A. B. C. 80D. 160【答
4、案】D【解析】【分析】根据，得数列为等比数列，求得，再由，确定n，得到为 ，然后利用通项公式求解.【详解】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，解得所以，其中展开式的第r+1项为，令，得（舍去），令，得 可得，所以二项式展开式中常数项为故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知若等比数列满足则（ ）A. B. 1010C. 2019D. 2020【答案】D【解析】【详解】等比数列满足即2020故选：D【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，双
5、曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到,进而求得离心率即可.【详解】因为是双曲线上一点,所以,又,所以,所以.又因为,所以有,即,即解得：（舍去）,或,所以,所以,故选：B.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点在于根据题中所给的条件列出等式进行化简,属于中等题型.11.已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出的图像,先求解,再数形结
6、合列出关于的不等式求解即可.【详解】由题意画出的图像如图所示,由解得,由函数有且仅有6个零点知,解得,故选：B.【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.12.在三棱锥中，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，
7、所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列是等差数列，是其前n项和，若_.【答案】8【解析】【分析】根据已知条件，利用等差数列通项公式，求出首项和公差，再代入通项公式即可求得答案.【详解】因为数列是等差数列，是其前n项和，所以则故答案为：8【点睛】本题较易，考查等差数列相关性质，根据通项公式代入计算求出首项和公差即可.14.过抛物线的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，以为直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为
8、2，则的值为_.【答案】4.【解析】【分析】设,中点为分析可得以为直径的圆与的准线相切.再利用点差法求点的纵坐标即可求得的值.【详解】设,中点为,则,故半径为,又中点到准线的距离为.故以为直径的圆与的准线相切,且为切点. 故,即又,又直线斜率为2, ,故.故答案为：4【点睛】本题主要考查了点差法求解弦中点的问题,同时也考查了焦点弦与准线的性质.属于中等题型.15.如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【详解】根据条件：,又,.又,三点共线
9、,.,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.16.若对于曲线上的任意一点处的切线总存在曲线y=ax+cosx上的一点处的切线使则实数a的取值范围是_.(其中e为自然对数的底数)【答案】【解析】【分析】求出函数导数从而计算直线斜率，根据确定等式关系，再经过分析即可得到答案.【详解】由题可知，设曲线 上任意一点处切线斜率为，则，同理可得曲线上任意一点处切线斜率为，又，即解得，所以实数a的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数某点的导数就是该点切线的斜率、集合间的包含关系等，难度一般.第II
10、卷三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.已知在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinAcosC+csin2A=ab.（1）求ABC的外接圆半径；（2）若求ABC的面积S的最大值.【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）根据题中等式，利用余弦定理化简，再利用正弦定理即可求出答案.（2）利用正弦定理，求出角A大小，之后再进行其他角大小分析，写出面积公式，分类讨论即可.【详解】（1）由余弦定理可得，又正弦定理，（2）由（1）可知，
11、或.，根据正弦定理可知，当时，时，当时，时，综上，ABC的面积S的最大值为【点睛】本题主要考查正弦、余弦定理的综合运用，涉及到此类三角函数问题时，要注意角的取值范围；要注意对函数值对应的特殊角进行分类讨论.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的一条直线交椭圆于两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为.(1)求椭圆的方程；(2)若，求直线的方程.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义和已知的周长，可以得到等式，根据长轴长与短轴长之比为，再结合椭圆中的关系，可以求出的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)设出直线的方程，化简，将直线的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次方程根与系
12、数关系最后可以求出的方程.【详解】(1)由条件可知：，解得：，所以椭圆的方程为(2)设直线的方程为：；因为，所以，所以，所以，解得：所以直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆的定义和标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量表达式的化简，考查了数学运算能力.19.在底面为菱形四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知可证，即可证明结论；（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.【详解】方法一：（1）依题意，且，四边形是平行四边形，平面，平
13、面，平面（2）平面，且为的中点，平面且，平面，以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，则.设平面的法向量为，则，取，则.，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值为.方法二：（1）证明：连接交于点，因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为四边形为菱形，所以为中点，在中，且，平面，平面，平面（2）略，同方法一.【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.20.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病
14、毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.
15、（i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）（结果保留整数，参考数据：）【答案】（1）；.（2）（i），证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【解析】【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第天被感染人数为，及第天被感染人数为，作差可得可得，可证，（ii）利用导数计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则,，的
16、数学期望.（2）（i）第天被感染人数为，第天被感染人数为，由题目中均值的定义可知，则，且.是以为首项，为公比的等比数列.（ii）令，则.在上单调递增，在上单调递减.则当，.戴口罩很有必要【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.21.（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在(-，0)上有且仅有一个极大值点且【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值
17、范围，即可得证.【详解】（1）对函数求导，得，因为任意的,有，且在区间上，所以即，即函数在区间上单调递增.（2）对函数求导，得，令，则当时，由（1）知，则故在上单调递减而由零点存在定理知：存在唯一的，使得，即当时，即，增函数；当时，即，为减函数.又当时，所以在上恒为减函数，因此有唯一的极大值点由在上单调递减，故即又当时，故综上，函数在(-，0)上有且仅有一个极大值点且【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.(二)选考题22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，aR).在以坐标原点为
18、极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）若点A(0，4)在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将直线l参数方程转化为直角坐标方程，再将A点坐标代入即可求出a值，进而求出极坐标方程.（2）设直线m平行于直线l，则直线m与曲线C的切点到直线l的距离即为|PQ|最小值，计算求解即可.【详解】（1）由直线l的参数方程为 (t为参数，aR)可得，直线l的直角坐标方程为，因为点A(0，4)在直线l上，代入方程，得则直线l的直角坐标方程为，将代入，得即直线l的极
19、坐标方程为（2）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得，设直线，则直线m与曲线C的切点（靠近直线l）到直线的距离即为|PQ|最小值，将直线m代入曲线C中，得，由相切，得，即（舍负），由于直线m与直线l的距离为，则， 【点睛】本题主要考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程之间的转化，难度较易；解决此类直线到曲线上最大（小）值问题时，可以联立利用求解，也可以通过将曲线转化为参数方程在代入点到直线距离公式求解.23.已知（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值为M，且a+b+c=M(a，b，cR)，求证：【答案】（1）或 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f(x)的最小值为M=1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，则的解集为或综上，不等式的解集为或（2）由题可知，f(x)的最小值为M=1（时取得），即，由柯西不等式，得，同理，得到相加，得得证（等号成立条件）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.