1、过关综合测评第二章测评(三)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.42答案D解析由椭圆M:x2+y24=经过点(1,2)可得=2,即椭圆的方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.2.(2020广东茂名期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0
2、)答案C解析因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,得p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为()A.13B.10C.213D.25答案C解析由题意得m3=23,得m=4,则双曲线的焦距为29+m=213.4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4答案A解析根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准
3、线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.5.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率是43,且F1PF2=90,F1PF2的面积是7,则a+b是()A.3+7B.9+7C.10D.16答案A解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,a=3,c=4,b=c2-a2=7,a+b=3+7.6.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2
4、|FB|,则k等于()A.13B.223C.23D.23答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4,根据抛物线的定义得,|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,由得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.7.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xbc0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若F0F1F2是边长
5、为1的等边三角形,则a,b的值分别为()A.72,1B.3,1C.5,3D.5,4答案A解析|OF2|=b2-c2=12,|OF0|=c=3|OF2|=32,b=1,a2=b2+c2=74,得a=72,即a=72,b=1.8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=2答案C解析由题意,知a2-b2=5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方
6、程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=52a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112,b2=12.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.当4,34时,方程x2sin +y2cos =1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案ACD解析当4,34时,sin22,1,cos-22,22,可得方程x2sin+y2cos=1表示的曲线可以是椭圆(sin0,cos0),也可以是双曲线(sin0,cos0,b0)的左、右焦点分别为F1(-
7、5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为x216-y29=1的是()A.离心率为54B.双曲线过点5,94C.渐近线方程为3x4y=0D.实轴长为4答案ABC解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故A正确;c=5,双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故B正确;c=5,渐近线方程为3x4y=0,可得a2+b2=25,ba=34,解得a=4
8、,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故C正确;c=5,实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,故D不正确.11.已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()A.1|AF|+1|BF|=1B.|AF|=6C.|BD|=2|BF|D.F为AD的中点答案BCD解析如图,Fp2,0,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A,B,直线l的斜率为3,则直线方程为y=3x-p2,联立y2=2px,y=3x
9、-p2,得12x2-20px+3p2=0,解得xA=3p2,xB=p6.由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=8p3=8,得p=3.所以抛物线方程为y2=6x.则|AF|=xA+p2=2p=6,故B正确;所以|BF|=2,1|AF|+1|BF|=23,故A错误;|BD|=|BF|cos60=4,则|BD|=2|BF|,故C正确;所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.12.如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,OMN与OAB的面积分别记为SOMN,SOAB.
10、则下列说法正确的是()A.若记直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2的大小是定值-14B.OAB的面积SOAB是定值1C.线段OA,OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4D.设=SOMNSOAB,则2答案ABD解析F(0,1),设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组y=kx+1,x2=4y,消元得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,k1k2=y2x2y1x1=y1y2x1x2=-14,故A正确;设直线OA的方程为y=mx(m0),则直线O
11、B的方程为y=-14mx,联立方程组y=mx,x24+y2=1,解得x2=41+4m2,则A-21+4m2,-2m1+4m2,同理可得B21+14m2,-12m1+14m2,A到OB的距离d=21+4m2+8m21+4m21+16m2=2+8m21+4m21+16m2.又|OB|=41+14m2+14m21+14m2=16m2+14m2+1,SOAB=12|OB|d=1216m2+14m2+12+8m21+4m21+16m2=1,故B正确;又|OA|2=41+4m2+4m21+4m2=4+4m21+4m2,|OB|2=16m2+14m2+1,|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=5,
12、故C不正确;联立方程组y=mx,x2=4y,可得x(x-4m)=0,故N(4m,4m2),|ON|=4mm2+1,同理可得M-1m,14m2,M到直线OA的距离h=-1-14m2m2+1=1+14m21+m2,SOMN=12|ON|h=2m1+14m2=2m+12m2,当且仅当2m=12m,即m=12时,等号成立.=SOMNSOAB=SOMN2,故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.答案2解析依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x00),则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=2
13、.14.若等轴双曲线C的左顶点A,右顶点B分别为椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.答案1解析依题意,椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(xa),则直线PA,PB的斜率分别为k1=yx+a,k2=yx-a,所以k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=1.15.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=bax交椭圆于A,B
14、两点,若cosAFB=13,则椭圆C的离心率是.答案255解析如图,过点A作AM垂直于x轴于点M,过点B作BN垂直于x轴于点N,联立y=bax,b2x2+a2y2=a2b2,解得A22a,22b.|AM|=|BN|=22b,|MF|=c-22a,|NF|=c+22a.cosAFB=13,tanAFB=22.tanAFM=|AM|MF|,tanBFN=|BN|FN|,则tanAFB=tanAFM+tanBFN1-tanAFMtanBFN=22.即2b2c-22a+2b2c+22a=221-2b2c-22a2b2c+22a,化简得c2-bc-2b2=0,解得c=2b,故e=ca=cc2+b2=25
15、5.16.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为,|AB|=.答案3x-y-3=0163解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(x1,-2x1),A(x2,2x2),FC=3FB,(-2,m)=3(x1-1,-2x1)=(3x1-3,-6x1),则有3x1-3=-2,m=-6x1,解得x1=13,m=-23,则C(-1,-23),则直线AB的斜率k=232=3,则直线AB的方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0.将y=3(x-1)代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+
16、x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2=163.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),动点P满足OP=OA+OB,x=x1+x2,y=y1+y2.A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,令y1=255x1,y2=-255x2,x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1-x2),|AB|=52
17、y2+25x2=25,化简可得动点P的轨迹方程为x225+y216=1.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为23,左、右焦点分别为F1,F2,且过点P3,12.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.解(1)由题意得c=3,焦点F1(-3,0),F2(3,0),2a=|PF1|+|PF2|=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,则a=2,b=a2-c2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设直线l的方程为x=my+3(m0),代
18、入椭圆方程得(m2+4)y2+23my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),=16(m2+1)0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.由MF2=3F2N,得y1=-3y2,由可得m=22.故直线l的方程为2x-2y+23=0.19.(12分)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为322.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为0,p2,由点到直线的距离公式可得-p2-22=322,解得p=2(负值
19、舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为x0,x024,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-x0242=4+x0242,化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0R,方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,x2+y2=4,解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).20.(12分)(2020山东烟台段考)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛
20、物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.(1)解抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+4代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,=16m2+640恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y124y224=16,即有x1x2+y1y2=0,则OAOB,则以AB为直径的圆必过坐标原点.21.(12分)M是椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点,F是椭圆T的
21、右焦点,A为左顶点,B为上顶点,O为坐标原点,如图所示,已知|MF|的最大值为3+5,且MAF面积最大值为3+5.(1)求椭圆T的标准方程;(2)求ABM的面积的最大值S0.若点N(x,y)满足xZ,yZ,称点N为格点.问椭圆T内部是否存在格点G,使得ABG的面积S(6,S0)?若存在,求出G的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由椭圆性质可知|MF|=caa2c-xM=a-caxM,其中c0,c2=a2-b2,因为xM-a,a,故|MF|a-c,a+c,即a+c=3+5,又MAF面积最大值为3+5.且SMAF=12(a+c)|yM|,|yM|的最大值为2,即b=2,又b2=a2-c2且a+c
22、=3+5,解得a=3,c=5,椭圆T的方程为x29+y24=1.(2)由题知直线AB的方程为y=23x+2,设直线l:y=23x+m与椭圆T相切于x轴下方的点M0,则ABM0的面积为ABM的面积的最大值S0.y=23x+m,x29+y24=1,消去y得29x2+m3x+m24-1=0,由=m29-429m24-1=0,得m=-22,此时直线AB与直线l距离为2+221+49=3(2+22)13,而|AB|=13,则S0=12133(2+22)13=3(1+2),设h为点G到直线AB的距离,则S=132h,由6132h3(1+2),得1213h231-2,故(1,-1)在直线A0B0上方,不符题
23、意;而-1232-2,则点(2,-1)在直线A0B0下方,且229+(-1)24=2536b0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N(异于点P).求证:弦长|MN|为定值.(1)解由条件可得ca=22,4a2+2b2=1,解得a=22,b=2,所以椭圆的方程为x28+y24=1,其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.(2)证明当l1,l2中有
24、一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=22或x=-22,当l1方程为x=22时,此时l1与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,-2),此时经过点(22,2)或(22,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,所以l1l2,所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t1(x-x0)+y0,y=t2(x-x0)+y0,统一记为y=t(x-x0)+y0,联立方程组y=tx+(y0-tx0),x28+y24=1,消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以=(64-8x02)t2+16x0y0t+32-8y02=0,则方程的两根为t1,t2,所以t1t2=32-8y0264-8x02=32-8(12-x02)64-8x02=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.综合知,弦长|MN|为定值43.
