1、河南省鲁山县第一高级中学2021届高三数学上学期8月月考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则A. B. C. D. 2.复数，则A. B. -2 C. D. 23.已知，则A. B. C. D. 4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B. C. D. 5.如图，在中，是上一点，若，则实数的值为A. B. C. D. 6.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为A. B. C. D. 7.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间
2、为A. B. C. D. 8.已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为A. 8 B. 9 C. 10 D. 119.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A. B. C. D. 10.定义在R上的函数满足且，则不等式的解集为A. B.C. D.11已知为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D12.中，中，则的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13
3、.已知随机变量服从正态分布，若，则_14.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为_15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，则_16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：函数是偶函数；对任意的，都有；函数在区间上单调递减；函数的值域是；.其中判断正确的序号是_三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）已知的面积为，且内角依次成等差数列.（I）若，求边的长；（II）设为
4、边的中点，求线段长的最小值.19.（本小题满分12分）已知三棱锥中，是边长为的正三角形，（）证明：平面平面；（II）设为棱的中点，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望（II）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进
5、或份，哪一种得到的利润更大？21.（本小题满分12分）已知抛物线上一点到焦点的距离.（）求抛物线的方程；（II）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数（）求证：曲线与在处的切线重合；（II）若对任意恒成立。求实数的取值范围求证：（其中） 理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（ B ）A. B. C. D. 2.复数，则（ D ）A. B. -2C. D. 23.已知，则（ A ）A. B. C. D. 4.下列函数既是奇函
6、数，又在上单调递增的是( C )A. B. C. D. 5.如图，在中，是上一点，若，则实数的值为（ D ）A. B. C.D. 【详解】由题意及图，又，所以，（1m），又t，所以，解得m，t，故选：D6.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ C ）A. B. C. D. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数最小值为：.本题选择C选项.7.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向
7、左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为(D )A. B.C. D. 【详解】函数f（x）sin（x+）（0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T，所以：2,将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）sin（2x）是偶函数，故：（kZ），解得：（kZ），由于：，所以：当k0时则，令：（kZ），解得：（kZ），当k0时，单调递减区间为：，由于，故选：D8.已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为 BA. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】B求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定
8、义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，计算可得所求最小值【详解】由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|2a+|MF1|6+|MF1|，由圆E：x2+（y）21可得E（0，），半径r1， |MN|+|MF2|6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+419故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合
9、思想和运算能力，属于中档题9.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ A ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A10.定义在R上的函数满足且，则不等式的解集为（ C）A. B. C. D.11已知为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】B由得：，则此椭圆离心率的取值范围是，故选B12.
10、中，中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方
11、；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量服从正态分布，若，则_【答案】114.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为_【答案】2015.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，则_【答案】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函
12、数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：函数是偶函数；对任意的，都有；函数在区间上单调递减；函数的值域是；.其中判断正确的序号是_【答案】【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可【详解】当2x1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当1x1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1x2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3x4时，P的
13、轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，函数的周期是4因此最终构成图象如下：，根据图象的对称性可知函数yf（x）是偶函数，故正确；，由图象即分析可知函数的周期是4即f（x+4）f（x），即f（x+2）f（x2），故正确；，函数yf（x）在区间2，3上单调递增，故错误；，由图象可得f（x）的值域为0，故错误；，根据积分的几何意义可知f（x）dx（）21112，故正确故答案为：【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列为等比数列，首项，数
14、列满足，且.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.【详解】（）由和得，.设等比数列的公比为，计算得出（）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，18.已知的面积为，且内角依次成等差数列.（1）若，求边的长；（2）设为边的中点，求线段长的最小值.【详解】（1）三内角依次成等差数列，设所对的边分别为,由可得.，由正弦定理知.中，由余弦定理可得.即的长为（2）是边上的中线，当且仅当时取“”,即长的最小值为.19.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；（1）证明：平面平面；（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在中，由余弦定理可得，平面，平面，平面平面. （2）
15、在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系：设平面的一个法向量为则解得，即设平面的一个法向量为则解得，即由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该
16、食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？【详解】（1）根据题意可得，的分布列如下：（2）当购进份时，利润为，当购进份时，利润为，可见，当购进份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：解得所以，抛物线的方程为.（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.设切线的方程为,同理可得.所以，是方程两根，.设，由得，由韦达定理知，所以，同理可得.设点的横坐标为，则 .设，则，所以，对称轴，所以【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.（本小题满分12分）已知函数（1） 求证：曲线与在处的切线重合；（2） 若对任意恒成立。求实数的取值范围求证：（其中）
