1、2022届陕西省西安市长安区第一中学第三次模拟考试数学（文）试题考试时间: 分钟一、单选题（每小题 分, 满分 分）1. 已知集合 , 则 ( )A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位, 复数 满足 , 则 的共轭复数 A. B. C. D. 3. 某商场 年部分月份销售金额如下表:若用最小二乘法求得回归直线方程为 , 则 )A. B. C. D. 4. 函数 在 的图象大致为( )5. “干支纪年法” 是中国历法上使用的纪年方法. 甲, 乙, 丙, 丁, 戊, 已, 庚, 辛,壬, 癸被称为 “十天干”，子，丑，寅, 卯，辰，已，午，未，申，西, 戌, 亥被称为“十二地支”.“天干”
2、以“甲”字开始, “地支”以“子”字开始, 两者按干支顺序相配,其相配顺序为：甲子, 乙丑, , 癸西, 甲戌, 乙亥, 壬戌, 癸亥, 甲子, ,周而复始, 循环记录, 此为干支纪年法. 十三届全国人大四次会议审查的 国民经济和社会发展第十四个五年规划和 年远景目标纲要 (草案)提出, 展望 年, 中国将基本实现社会主义现代化.已知 年是 “干支纪年法” 中的辛丑年,那么 年是 “干支纪年法” 中的 ( )A. 甲寅年 B. 乙卯年 C. 丙辰年 D. 丁巳年6. 已知 , 则 “ ” 是 “ ” 的（ )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
3、条件7. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的最长棱的长度为（）A. B. C. D. 8. 设 满足 则 的最小值是 ( )A. B. C. D. 9. 年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第 届世界遗产大会上, 随着木槌落定,良渚古城遗址成功列人 世界遗产名录, 这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”, 标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地, 得到了世界的广泛认同. 年, 考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥) 上提取的草茎遗存进行碳 年代学检测, 检查测出碳 的残留量约为初始值的 ,已知死亡生物体内碳 的含量 与生物死亡年数 之
4、间符合 , 其中 为死亡生物碳 的初始量. 据此推断, 此水坝大约是距 年之前（）年建造的.参考数据 A. B. C. D. 10. 在 中, 角 对应的边分别是 , 若 , 则 的最大值为 ( )A. B. C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 , 在其渐近线上存在一点 , 满足|, 则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A B. C. D. 12. 已知 , 不等式 对任意的实数 都成立, 则实数 的最小值为 ( )A. B. C. D. 二、填空题 (每题 分, 满分 分)13. 已知在 中, 为 的中点, 则 .14. 曲线 ( 为自然对数的底数) 在 处的切线与圆 相交于点
5、 , 则 .15. 已知椭圆 的焦点为 , 第一象限点 在 上, 且 ,则 的内切圆半径为 .16. 如图, 是边长为 的正三角形 的一条中位线, 将 沿直线 翻折至 , 当三棱锥 的体积最大时, 四棱雉 外接球 的表面积为 ; 过 的中点 作球 的截面,则所得截面圆面积的最小值是 .三、解答题17. (满分 分)某网络营销部门随机抽查了某市 名网友在 年 月 日的网购金额, 所得数据如下表：已知网购金额不超过 千元与超过 千元的人数比恰为 3: .(1)试确定 的值, 并补全频率分布直方图 (如图);(2)估计网购金额的中位数;(3)在一次网购中, 嘉嘉和琪琪随机从 “微信, 支付宝, 银行
6、卡三种支付方式中任选种方式进行支付, 求两人恰好选择同一种支付方式的概率.18. (满分 分）已知各项为正的数列 的首项 , 前 项和为 , 且满足 ,数列 满足 .(1) 求数列 和 的通项公式;(2) 若数列 满足 , 求 的前 项和 .19. 如图, 直三棱柱 中, 为棱 的中点, 为棱 上的点.(1)证明: ;(2)当 与平面 所成的角为 时, 求三棱雉 的体积.20. (满分 分)已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 .(1)求抛物线 的方程;(2)过点 (其中 )作两条相互垂直的直线 , 直线 与抛物线 相切于点 ( 在第一象限内), 直线 与抛物线 相交于 两点, 记直线 的斜率分别为 , 求 的最小值.21.（满分 分）已知函数 .(1)若对 , 曲线 在点 处的切线恒过点 , 求 的值;(2)当 时, 证明: .选做题（满分 分)22. 在直角坐标系 中, 曲线 的参数方程为 ( 为参数). 以坐标原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 的极坐标方程为 (1) 求 普通方程和 的直角坐标方程;(2) 若 为曲线 上任意一点, 直线 与 轴、 轴的交点分别为 , 求 面积的最大值.23. 已知 都为正实数, 且 . 证明:(1) ;(2) .
