1、第二章圆锥曲线4直线与圆锥曲线的位置关系4.2直线与圆锥曲线的综合问题课后篇巩固提升合格考达标练1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A.-12B.12C.-2D.2答案A2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案B解析抛物线的焦点为Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px消去x,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得
2、y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2C.(1,5)D.(1,5答案B4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()A.1B.2C.3D.2答案B5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.答案22解析设A(x1,y1),B(x2,
3、y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2.y1-y2x1-x2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2,-b2a2=-12.a2=2b2.又b2=a2-c2,a2=2(a2-c2),a2=2c2,e=ca=22.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.答案(1,5)解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于
4、两点,可得ba2.e=ca=a2+b2a21,1e0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()A.1B.2C.3D.2答案B解析c2=a2-b2=16-4=12,c=23.椭圆的右焦点F(23,0).设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=x-23,其中m=1k.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立my=x-23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0.y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.AF=3FB,-y1=3y2,把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,1k2=12,即k2=2.又k0,k=2.8.已知双曲线C:x2
5、a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为()A.-13或13B.-16或16C.2D.16答案B9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则ABG的面积为()A.839B.1639C.3239D.6439答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB,所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,y1y2=-4,y1=23,
6、y2=-233,y1+y2=4m=433,m=33,x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,SABG=12113-123+233=3239.10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是()A.12B.33C.32D.53答案B11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点
7、的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是()A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2B.PB1PB20C.PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22aD.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1kPB2=y0+bx0y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确;点P在圆x2+y2=b2外,x02+y02-b20,PB1PB2=(-x0,-b-y0)(-x0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确;当点P在长轴的顶点上时,B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,PB1B2的外
8、接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsinB1PB22bsinB1AB2=2bsin2OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a.ra2+b22a,PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确;直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2-x02x2,化为y2b2-x2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,M的轨迹为双曲线的一部分,D不正确.12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则ABF的面积为.答案321513.在直角坐标系x
9、Oy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.(1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),则kAM-kBM=y-2x+2-y-2x-2=8-4yx2-4=-2,可得x2=2y(x2),则M的轨迹C的方程为x2=2y(x2).(2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m2,n2,又A(-2,2),可得kAPkAQ=m22-2m+2n22-2n+2=m-22n-22=-2,即有mn-2(m+
10、n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2,可得直线l的方程为y-m22=m+n2(x-m),化为y=m+n2x-mn2,可得y-6=m+n2(x-2),可得直线l恒过定点(2,6).新情境创新练14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求OAB(O为原点)面积的最大值.解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2,又由椭圆C经过点32
11、,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1,联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2,联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0,因为直线AB与椭圆C相交于A,B两点,所以=(12k)2-49(1+3k2)0,得k21,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-12k1+3k2)2-491+3k2=61+k2k2-11+3k2.点O(0,0)到直线kx-y+2=0的距离d=21+k2,所以OAB面积SAOB=12|AB|d=1261+k2k2-11+3k221+k2=6k2-11+3k2.令k2-1=t,则k2=t2+1(t0),所以SOAB=6t4+3t2=64t+3t624t3t=32,当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立,此时k2=73,OAB的面积取得最大值32.