1、4.5.1函数的零点与方程的解课后训练巩固提升A组1.下列各图象表示的函数没有零点的是()答案:D2.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0解析:当x1时,由f(x)=0,得2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,解得x=12,不符合要求.所以函数的零点只有0.答案:D3.函数f(x)=2x-1x的零点所在的区间是()A.(1,+)B.12,1C.13,12D.14,13解析:由f(x)=2x-1x,得f12=212-20,于是f12f(1)0B.a0C.a0D.a0解析:因为函
2、数y=x2+a存在零点,所以x2=-a有解,所以a0.答案:B5.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|=12x=12x的解的个数函数y1=|log0.5x|与y2=12x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点.答案:B6.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是.解析:f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3).可知零点为1,-1,-2,3,共
3、4个.答案:47.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为32,则f(1)=.解析:因为函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为32,所以32是方程2x2-ax+3=0的一个解,即294-32a+3=0,解得a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,则f(1)=2-5+3=0.答案:08.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.解析:画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点
4、A,B,C的横坐标,由图象可知abc.答案:abc9.已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.解:(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.令f(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,如图.故f(1)0,即1-b+34.故b的取值范围为(4,+).10.已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4.(1)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实
5、数m的值;(2)若函数f(x)有两个零点且均比-1大,求实数m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,所以方程f(x)=0有两个相等的实数解.所以=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.(2)由题意,知4m2-4(3m+4)0,-m-1,f(-1)0,即m2-3m-40,m0,解得-5m0时,有f(x)0;当x0时,有f(x)0f(1),则函数f(x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解析:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,f(x)在区间(0,+)内单调,且f(2)0f(1).故当x0时,
6、函数有一个零点,易知在其对称区间(-,0)内也有一个零点,故共有3个零点.答案:D4.若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是()A.(-,1-21+2,+)B.(-,1-2)(1+2,+)C.-56,-12D.-56,-12解析:函数f(x)=x2+2mx+2m+1的零点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,即函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点一个在区间(-1,0)内,一个在区间(1,2)内,根据图象列出不等式组f(-1)=20,f(0)=2m+10,f(1)=4m+20,解得m-56,所以-56m-12.所
7、以m的取值范围是-56,-12.答案:D5.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为.解析:由(lgx)2-lgx=0,得lgx(lgx-1)=0,所以lgx=0或lgx=1,故x=1或x=10.答案:1或106.若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n=.解析:因为函数f(x)=3x-7+lnx在定义域上是增函数,所以函数f(x)=3x-7+lnx在区间(n,n+1)上只有一个零点.因为f(1)=3-7+ln1=-40,f(2)=6-7+ln20,所以函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(2,3)内.所以n=2.答案:27.已知函数f(x)
8、=|lnx|,x0,x2+4x+1,x0,g(x)=f(x)-a.(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围.解:(1)当x0时,由|lnx|=2,解得x=e2或x=1e2.当x0时,由x2+4x+1=2,解得x=-2-5(舍去x=-2+5),所以函数g(x)有三个零点,分别为e2,1e2,-2-5.(2)函数g(x)=f(x)-a的零点个数即为y=f(x)的图象与y=a的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与y=a的图象,结合两函数图象可知,函数g(x)有四个零点时,a的取值范围是0a1.8.已知二次函数f(x)=x2-
9、16x+q+3.(1)若函数f(x)在区间-1,1上存在零点,求实数q的取值范围;(2)是否存在常数t(t0),当xt,10时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t?解:因为函数f(x)=x2-16x+q+3的图象的对称轴是直线x=8,所以f(x)在区间-1,1上单调递减.因为函数f(x)在区间-1,1上存在零点,所以必有f(1)0,f(-1)0,即1-16+q+30,1+16+q+30.所以-20q12.所以实数q的取值范围为-20,12.(2)0t10,f(x)在区间0,8上单调递减,在区间8,10上单调递增.当0t6时,在区间t,10上,f(t)最大,f(8)最小,故f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,解得t=15172,所以t=15-172;当6t8时,在区间t,10上,f(10)最大,f(8)最小,故f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;当8t10时,在区间t,10上,f(10)最大,f(t)最小,故f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8或t=9,所以t=9.综上,可知存在常数t=15-172或8或9满足条件.