1、跟踪强化训练(二十二)1.(2017济南质检)如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.证明证法一：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n
2、1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，由n1n10，得解得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1n20，平面MDF平面EFCD.证法二：(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.2(2017郑州质检)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线
3、BC与平面A1CD所成角的正弦值解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DEAC，DEAC.又F为A1C1的中点，可得A1FA1C1，所以A1FDE，A1FDE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1，ODOA1.又A1B1C1为等边三角形，所以OC1A1B1.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴
4、的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)所以，.设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2,1,0)设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.3(2017北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解(1)证明：设AC，BD交点为E，连接ME.因为PD平面MAC
5、，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为ABCD是正方形，所以OEAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)所以cosn，p.由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的
6、大小为.(3)由题意知M，C(2,4,0)，.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin|cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.4(2017沈阳二模)如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCD，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解(1)证明：在梯形ABCD中，设ADCDBC1，ABCD，BCD，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos3.AB2AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，而
7、CFBCC，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ADCDBCCF1，令FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)，设平面MAB的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，则n1(1，)，为平面MAB的一个法向量易知n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos.0，当0时，cos有最小值，点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.