1、第九章章末质量检测(一)解三角形本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1B2C3D42在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ab，A2B，则cosB()A.B.C.D.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c，b，B120，则a等于()A.B2C.D.4在ABC中，C，AB2，AC，则cosB的值为()A.BC.或D.或5.ABC内角A，B，C的对边分别为
2、a，b，c，则“ABC为锐角三角形”是“a2b2c2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A240(1) mB180(1) mC120(1) mD30(1) m7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2BDB2A8已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a4，bc5, tanAtanBtanAt
3、anB，则ABC的面积为()A.B3C.D.9在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积为()A3B.C.D310将一根长为12m的铁管AB折成一个60的角ACB，然后将A、B两端用木条封上，从而构成三角形ACB，在不同的折法中，ACB面积S的最大值为()A9B9C18D1811已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的外接圆的面积为3，且cos2Acos2Bcos2C1sinAsinC，则ABC的最大边长为()A2B3C.D212如图，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东3
4、0方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30方向，且与B相距60km，一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有()A120kmB60kmC60kmD60km第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上)13.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinAacosB0，则B_.14如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为_m.15如图在平面四边形ABCD中，ABC75，
5、BC2，则AB的取值范围是_16在ABC中，ACB60，BC2，ACAB1，当ABC的周长最短时，BC的长是_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，a3，bc2，cosB.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值18. (本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sinAsinBsinC；(
6、2)若b2c2a2bc，求tanB.20(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinBbcosA.(1)求角A；(2)若ABC的面积为2，a5，求ABC的周长21(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a.(1)求角A；(2)若ABC的内切圆面积为4，求ABC面积S的最小值22(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到
7、B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？第九章章末质量检测(一)解三角形1解析：余弦定理AB2BC2AC22BCACcosC将各值代入得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)，故选A.答案：A2解析：在ABC中ab，由正弦定理可得sinAsinB，又A2B，sinAsin2B2sinBcosB，由可得sinB2sinBcosB
8、，可得cosB，故选B.答案：B3解析：由余弦定理，得b2a2c22accosB，则6a22a，即a2a40，解得a或a2(舍)故选D.答案：D4答案：D5解析：当ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2b2c2成立，当a2b2c2成立时，由余弦定理可得cosC0，即C为锐角，但此时ABC形状不能确定，故ABC为锐角三角形”是“a2b2c2”的充分不必要条件，故选A.答案：A6解析：AC120，AB，所以BC120(1)故选C.答案：C7解析：sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，故选A.答案：A8
9、解析：因为tanAtanBtanAtanB，所以tanAtanB(1tanAtanB)，即tan(AB)，所以AB，C，又因为a4，bc5.所以(5b)242b224b.解得b，则ABC的面积为S4.故选C.答案：C9解析：因为c2(ab)26，C，所以由余弦定理得：c2a2b22abcos，即2ab6ab，ab6，因此ABC的面积为absinC3，故选C.答案：C10解析：设ACx,0x0)，则at2，可得Lt323t92996，当且仅当3t，即t此时a2，可得周长的最小值为96，BC的长是2.故答案为2.答案：217解析：(1)由余弦定理可得cosB，因为a3，所以c2b23c90，因为b
10、c2，所以解得.(2)由(1)知a3，b7，c5，所以cosA；因为A为ABC的内角，所以sinA.因为sin(BC)sin(A)sinA.18解析：(1)sinAcosA0，tanA，0A0)则aksinA，bksinB，cksinC.代入中，有，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sinC，所以sinAsinBsinC.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cosA.所以sinA.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以sinBcosBsinB，故tanB4.20解析：(1
11、)由题意，在ABC中，因为asinBbcosA，由正弦定理，可得sinAsinBsinBcosA，又因为B(0，)，可得sinB0，所以sinAcosA，即tanA，因为A(0，)，所以A；(2)由(1)可知A，且a5，又由ABC的面积2bcsinAbc，解得bc8，由余弦定理a2b2c22bccosA，可得25b2c2bc(bc)23bc(bc)224，整理得(bc)249，解得bc7，所以ABC的周长abc5712.21解析：(1)因为a所以(sinBsinCcosBcosC)sinA即cos(BC)sinA，所以cosAsinA，即tanA，因为A(0，)，所以A；(2)由题意知ABC内
12、切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I，M，N为切点，则AI4，AMAN2，从而abc4，由余弦定理得(bc4)2b2c2bc，整理得3bc488(bc)16，解得bc48或bc(舍去)，从而SbcsinA4812，即ABC面积S的最小值为12.22解析：(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCsinCcosA.由正弦定理，得ABsinC1040(m)所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)200，由于0t，即0t8，故当tmin时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsinA500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内