1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式2-xx0的解集是()A.x|0x2B.x|0x2C.x|x0或x2D.x|x2解析原不等式可化为x(x-2)0,x0,解得0x2,故不等式的解集为x|0B,所以B=30,故选A.答案A4.已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n(nN*),若p-q=5,则ap-aq等于()A.10B.15C.-5D.20解析因为Sn=2n2-3n(nN*),所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n2).又a1=S1=-1,适合上式,所以数列an的通项公式为an=4n-5(nN*).于是ap-aq=4(p-q)=20
2、.故选D.答案D5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ab=b+3ca,sin C=23sin B,则tan A等于()A.3B.1C.33D.-3解析由sin C=23sin B,得sinCsinB=23,利用正弦定理化简得sinCsinB=cb=23,即c=23b.由ab=b+3ca,整理得a2-b2=3bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3bc+23bc2bc=32.由A(0,),知A=6,则tan A=tan 6=33.故选C.答案C6.在等差数列an中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,则an的前14项和为()A.55
3、B.60C.65D.70解析在等差数列an中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,a5+a10=10,an的前14项和S14=142(a1+a14)=7(a5+a10)=710=70.故选D.答案D7.已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)中的x,y满足x0,y0,3x+4y12,则PMN面积的取值范围是()A.12,24B.12,25C.6,12D.6,252解析作出不等式组x0,y0,3x+4y12表示的平面区域如图中的阴影部分所示.因为过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,且两条直线间的距离d=|12+
4、12|32+42=245,所以当点P在原点O处时,PMN的面积最小,其面积为OMN的面积,此时SOMN=1234=6;当点P在线段AB上时,PMN的面积最大,且为1232+42245=12,故选C.答案C8.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=33b,且B=2A,则cos 2A等于()A.12B.-12C.32D.-32解析因为a=33b,所以sin A=33sin B,即sin A=33sin 2A=233sin Acos A,于是cos A=32,故cos 2A=2cos2A-1=12.答案A9.已知不等式组2x-y-20,3x+y-80,x+2y-10则z=yx+1的
5、最大值与最小值的比值为()A.-2B.-12C.-83D.-12解析如图,不等式组2x-y-20,3x+y-80,x+2y-10所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知z=yx+1表示平面区域内的点与定点P(-1,0)的连线的斜率.由3x+y-8=0,2x-y-2=0,可得x=2,y=2,即A(2,2).由3x+y-8=0,x+2y-1=0,可得x=3,y=-1,即B(3,-1).由图知直线AP的斜率最大,此时z=yx+1最大,故zmax=23;直线BP的斜率最小,zmin=-14.故z=yx+1的最大值与最小值的比值为-83,选C.答案C10.已知等差数列12,-13,-76,-2,从首项到第
6、n项的绝对值的和等于50,则项数n等于()A.11B.12C.13D.14解析因为从第2项开始各项均为负,且首项到第n项的绝对值的和等于50,设第n项的绝对值为a,所以13+76+2+a=50-12=992.设新数列13,76,2,a的项数为m,且该数列是公差为56的等差数列,则13m+m(m-1)256=992,得m=11(m=-545舍去),所以n=m+1=12.故选B.答案B11.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=bcos C+csin B,且ABC的面积为1+2,则b的最小值为()A.2B.3C.2D.3解析由a=bcos C+csin B及正弦定理,得sin A
7、=sin Bcos C+sin Csin B,即sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B,得sin Ccos B=sin Csin B.因为sin C0,所以tan B=1.因为B(0,),所以B=4.由SABC=12acsin B=1+2,得ac=22+4.又b2=a2+c2-2accos B2ac-2ac=(2-2)(4+22)=4,当且仅当a=c时,等号成立,所以b2,b的最小值为2,故选A.答案A12.已知正实数x,y满足x12,y1,不等式4x2y-1+y22x-1m恒成立,则m的最大值为()A.22B.42C.8D.16解析依题意得,2x-10,y-10,4x2
8、y-1+y22x-1=(2x-1)+12y-1+(y-1)+122x-14(2x-1)y-1+4(y-1)2x-1422x-1y-1y-12x-1=8,即4x2y-1+y22x-18,当且仅当2x-1=1,y-1=1,2x-1y-1=y-12x-1,即x=1,y=2时,取等号,因此4x2y-1+y22x-1的最小值是8,即m8.故m的最大值是8,选C.答案C二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知在ABC中,AB=3,BC=1,sin B+3cos B=0,则ABC的面积为.解析由sin B+3cos B=0可得tan B=-3,所以B=120,于是ABC的面积为S=12ABBCsin B
9、=1231sin 120=34.答案3414.若关于x的不等式x2-ax+10和ax2+x-10对任意的xR均不成立,则实数a的取值范围是.解析依题意知x2-ax+10和ax2+x-10对任意xR恒成立,故a0,且a2-40,a0,1+4a0,解得-2a2,a0,a-14,即-2a-14.答案-2,-1415.已知在ABC中,角A,B,C的大小依次成等差数列,最大边和最小边的长是方程x2-9x+20=0的两实根,则AC=.解析因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=,所以B=3.设方程x2-9x+20=0的两根分别为a,c,则a+c=9,ac=20,由余弦定理可知:AC
10、2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=92-220-22012=21,所以AC=21.答案2116.已知数列an的前n项和为Sn,数列an为12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,2n,n-1n,若Sk=14,则ak=.解析因为1n+2n+n-1n=1+2+n-1n=n2-12,1n+1+2n+1+nn+1=1+2+nn+1=n2,所以数列12,13+23,14+24+34,1n+1+2n+1+nn+1是首项为12,公差为12的等差数列,所以该数列的前n项和Tn=12+1+32+n2=n2+n4.令Tn=n2+n4=14,解得n=7
11、,所以ak=78.答案78三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x的一元二次不等式kx2-2x+6k0(k0).(1)若不等式的解集是x|x-2,求k的值;(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围.解(1)不等式的解集为x|x-2,-3,-2是一元二次方程kx2-2x+6k=0的两根,且k0.(-3)(-2)=6,(-3)+(-2)=2k,k=-25.(2)不等式的解集为R,k0,=4-4k6k0,即k66或k-66,k-66.故k的取值范围是-,-66.18.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cos C+c=2b.(
12、1)求A;(2)若b=12,求sin C.解(1)因为a=1,2cos C+c=2b,由余弦定理得212+b2-c22b+c=2b,即b2+c2-1=bc.所以cos A=b2+c2-122bc=bc2bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由b=12及b2+c2-1=bc,得122+c2-1=12c,即4c2-2c-3=0,解得c=1+134或c=1-134(舍去).由正弦定理csinC=asinA,得sin C=1+134sin 60=3+398.19.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn=-n2+2kn(kN*),且Sn的最大值为4.(1)求数列an的通项公式an;(
13、2)令bn=5-an2n,求数列bn的前n项和.解(1)由题意知当n=-2k2(-1)=k时,Sn取得最大值4,所以-k2+2kk=k2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以Sn=-n2+4n.当n=1时,a1=S1=3.当n2时,an=Sn-Sn-1=5-2n.经验证n=1时也符合该式.故数列an的通项公式为an=5-2n(nN*).(2)由(1)知bn=n2n-1.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=120+221+322+423+n2n-1,12Tn=121+222+323+424+n2n,两式相减得12Tn=120+121+122+123+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2
14、n=21-12n-n2n,所以Tn=4-12n-2-n2n-1=4-2+n2n-1.20.(本小题满分12分)如图,在ABC中,点P在BC边上,PAC=60,PC=2,AP+AC=4.(1)求ACP的度数;(2)若APB的面积是332,求sin BAP的值.解(1)在APC中,因为PAC=60,PC=2,AP+AC=4,PC2=AP2+AC2-2APACcosPAC,所以22=AP2+(4-AP)2-2AP(4-AP)cos 60,整理得AP2-4AP+4=0,解得AP=2.所以AC=2.所以APC是等边三角形,所以ACP=60.(2)因为APB是APC的外角,所以APB=120.因为APB的
15、面积是332,所以12APPBsinAPB=332,解得PB=3.在APB中,AB2=AP2+PB2-2APPBcosAPB=22+32-223cos 120=19,所以AB=19.在APB中,由正弦定理得ABsinAPB=PBsinBAP,所以sinBAP=3sin12019=35738.21.(本小题满分12分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A,B两台机床上加工,A,B两台机床每加工一件甲种产品所需工时分别为1工时、2工时;加工一件乙种产品所需工时分别为2工时和1工时.若A,B两种机床每月有效使用时数分别为400工时、500工时,如何
16、安排生产,才能使销售收入最大?最大销售收入是多少?解设生产甲种产品x件,乙种产品y件,销售收入为z,则z=3x+2y,x+2y400,2x+y500,x0,y0,作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线l0:3x+2y=0,平移直线l0至经过点P时,可使销售收入z取最大值.解x+2y=400,2x+y=500,得x=200,y=100,所以zmax=3200+2100=800(千元).故生产甲种产品200件,乙种产品100件,才能使销售收入最大,且最大销售收入是800千元.22.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=12an+1+n+1(nN*
17、).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1),设数列1bnbn+2的前n项和为Tn,求证:Tn34.(1)解由Sn=12an+1+n+1(nN*),得Sn-1=12an+n(n2,nN*),两式相减,并化简,得an+1=3an-2,即an+1-1=3(an-1).因为a1-1=-2-1=-30,所以an-1是以-3为首项,3为公比的等比数列,所以an-1=(-3)3n-1=-3n.故an=-3n+1.(2)证明由bn=log3(-an+1)=log33n=n,得1bnbn+2=1n(n+2)=121n-1n+2,Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2)34.