1、第2讲立体几何中的向量方法一、选择题1已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)解析经检验，选项B中向量(1，1，0)与向量a(1，0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60，故选B.答案B2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A垂直 B平行 C相交 D不能确定解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0，0，0)，D1(0，a，
2、0)，(0，a，0)，0，.又是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B3如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析不妨设CB1，则B(0，0，1)，A(2，0，0)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)(0，2，1)，(2，2，1)Cos，故选A.答案A4(2014新课标全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标
3、系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故cos，.答案C5(2014四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A. B.C. D.解析以D为原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有A(2，0，0)，O(1，1，0)，P(0，2，m)(0m2)，C1(0，2，2)易知面A1DB的一个法向量为(2，2，2)，(1，1，m)，sin ，令2mt，mt2(2
4、t4)，sin ，由二次函数的值域求解方法可知,y的值域为y,sin .故选B.答案B二、填空题6(2015莱阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为_解析取AD的中点F，连接EF、BF，则EFPA，侧棱PA底面ABCD，EF底面ABCD，则EBF为BE与平面ABCD所成的角在RtEBF中，EF1，BF，tanEBF，即直线BE与平面ABCD所成角的正切值为.答案7(2015长沙模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa，点E为侧棱PC的中
5、点，又作DFPB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为_解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则P(0，0，a)，B(a，a，0)，(a，a，a)，又，00，所以PBDE，由已知DFPB，且DFDED，所以PB平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90.答案908(2015四川卷)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_解析建立空间直角坐标系如图所示，设AB1，则，E，设M(0，y，1)(0y1)，则，cos .设异面直线所成的角为，则cos |
6、cos |，令t1y，则y1t，0y1，0t1，那么cos |cos |，令x，0t1，x1，那么cos ，又z9x28x4在1，)上单增，x1，zmin5，此时cos 的最大值.答案三、解答题9(2015安徽卷)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C.(2)求二面角EA1DB1的余弦值(1)证明由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C面A1DE.
7、又B1C面B1CD1.面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.设面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该面上向量，(0，1，1)，由n1.n1得r1，s1，t1应满足的方程组(1，1，1)为其一组解，所以可取n1(1，1，
8、1)设面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该面上向量(1，0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1)所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.10.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积(1)证明连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)证明因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图,以
9、A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m，0，0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设知| cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.11(2015陕西卷)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1B
10、C与平面A1CD夹角的余弦值解(1)在图1中，图1因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在图2中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC，又在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，E为AD中点，所以BC綉ED，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，图2又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC，如图2，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0，0)，设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则得取n1(1，1，1)；得取n2(0，1，1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.