1、河南省顶级名校2018-2019学年下期期末高二数学试题（理科）一、选择题。1.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限。故选D.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题。2.设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A. 15x4B. 15x4C. 20ix4D. 20ix4【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的
2、运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式可以写为，则其通项为，则含的项为3.以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是 故选D【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。4.把语文、数学、英语、物理、化
3、学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（ ）A. 24B. 60C. 72D. 120【答案】B【解析】由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.本题选择B选项.5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为6.下列说法：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少
4、个单位；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为 在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】逐个分析，判断正误。将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍；设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，两个变量的线性相关性越弱；服从正态分布，则位于区域内的概率为；在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好。【
5、详解】将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍，正确；设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位，正确；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，两个变量的线性相关性越弱，错误；服从正态分布，则位于区域内的概率为，错误；在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；正确故选C.【点睛】本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题。7.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】(a0+a2+a4)2(a1+a3)2 选A8.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一
6、个球，定义数列，如果为数列前n项和，则的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可详解：由题意说明摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是所以只有两次摸到红球的概率是，故选B点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力9.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，垂足为A，如果为正三角形，那么等于（
7、）A. B. C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】设准线l 与轴交于点，根据抛物线的定义和APF为正三角形，这两个条件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的长。【详解】设准线l 与轴交于点，所以，根据抛物线的定义和APF为正三角形，在中，所以|PF|等于6,故本题选C。【点睛】本题考查了抛物线的定义。10.已知三棱锥的体积为，且平面平面PBC，那么三棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：取中点，连接，由知，则，又平面平面，所以平面，设，则，又，则，显然是其外接球球心，因此故选D考点：棱锥与外接球，体积11.已知，记为，中不
8、同数字个数，如：，则所有的的排列所得的的平均值为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意得所有的的排列数为，再分别讨论时的可能情况则均值可求【详解】由题意可知，所有的的排列数为，当时，有3种情形，即，；当时，有种；当时，有种，那么所有27个的排列所得的的平均值为.故选：A【点睛】本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题12.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得故选C【考点
9、】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.二、填空题.13.设随机变量的概率分布列为，则.【答案】【解析】所有事件发生的概率之和为1，即P（=0）+P（=1）+P（=2）+P（=3）=1，c=， P（=k）=，P（=2）=故答案为14.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相
10、互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C)，该部件的使用寿命超过1000的事件为(ABAB)C.该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P.15.若定义在上的函数，则_【答案】【解析】由定积分几何意义可得，是以原点为圆心，以为半径的圆的面积的一半，故答案为.16.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数
11、关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因A,B在椭圆上,所以 ，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.三、解答题.17.2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为关注不关注合计青少年15中老年合计50501
12、00（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望附:参考公式，其中临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1) 有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2) 【解析】试题分析：(1)依题意完成列联表，计算，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算出数学期望值.试题解析：(1)依
13、题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.完成的22列联表如：关注不关注合计青少年153045中老年352055合计5050100则因为，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,的取值可以为0,1,2,3,则,.0123所以的分布列为数学期望18.在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连
14、接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：
15、本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可得，计算进而得答案。（2）设直线的方程，联立方程组，利用韦达定理，代入的面积公式计算整理即可。【详解】（1），解得，故（2）由（1）知椭圆方程可化简为易求直线的斜率为，故可设直线的方程为：由消去得，于是的面积，因此椭圆的方程为，即【点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量
16、，属于一般题。20.某大型高端制造公司为响应中国制造2025中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年512月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：月份56789101112研发费用x（百万元）2361021131518产品销量与（万台）1122.563.53.54.5（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系()求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);()若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制
17、度:以z(单位:万台)表示日销量,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据: ，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ，.若随机变量X服从正态分布,则，.【答案】(1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.【解析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入
18、所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（i)因为所以，所以关于的线性回归方程为（ii）当时，（万台）（注：若，当时，（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布.则.日销量的概率为.日销量的概率为.日销量的概率为.所以每位员工当月的奖励金额总数为元点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋
19、势.21.已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值范围为，则可知函数 在定义域上不单调时， 的取值范围为 ；（2）易知 ，设 的两个根为 ，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围. 详解：由已知，（1）若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，而，所以；若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，即的两根分别为，于是.不妨
20、设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.令，于是，由，得，又，所以.因为，所以在上为减函数，所以.点睛：导数问题一直是高考数学的重点内容也是难点内容，要注意研究函数的单调性，有时需要构造相关函数，将问题转化为求函数的值域问题，本题中的第一问，采用了“正难则反”的策略，简化了解题，在解决第二问换元时，要注意表明新元 的取值范围.22.在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程;（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.【答案】(1) (2) .【解析】分析：(1)利用极坐标与
21、直角坐标互化的公式可得曲线的普通方程为.(2)联立直线的参数方程与C的二次方程可得 .结合直线参数的几何意义有 .利用三角函数的性质可知的取值范围是.详解：(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程 (为参数)代入的方程,整理得 .因为直线与曲线有两个不同的交点，所以 ,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，所以,所以 .由，得，所以,从而 ，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.知函数.(1)当时,求的解集;(2)已知，若对于,都有成立,求的取值范围.【答案】(1)或.(2).【解析】分析：(1) 当时，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）当，.所以，即又的最大值必为之一.所以，即，进而可得结果.详解： (1)当时，等价于.因为.所以或或.解得或.所以解集为.（2）当，且时，.所以，即.又的最大值必为之一.所以，即.解得.所以取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想