1、重难点06 二次函数综合题【命题趋势】首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏涉及题目数量一般2-3题，其中有一道大题所占分值大约20-25分二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结 【满分技巧
2、】一通过思维导图整体把握二次函数所有考点二熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略1线段最值（周长）问题斜化直策略2三角形或多边形面积问题铅垂高、水平宽策略3线段和最小值问题胡不归+阿氏圆策略问题4线段差三角形三边关系或函数5相似三角形存在性问题根据相等角分类讨论6平行四边形存在性问题中点公式+平移法【限时检测】（建议用时：120分钟）1. (2019 山东省淄博市)如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，
3、设的内心为，试求的最小值【解析】（1）抛物线过点， 解得：这条抛物线对应的函数表达式为（2）在轴上存在点，使得为直角三角形顶点设点坐标为，若，则解得：若，则解得：，或若，则解得：综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形（3）如图，过点作轴于点，于点，于点轴于点四边形是矩形点为的内心，矩形是正方形设点坐标为，化简得：配方得：点与定点，的距离为点在以点，为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动当点在线段上时，最小最小值为2. (2019 四川省巴中市)如图，抛物线yax2+bx5（a0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为yx+n求抛物线的解析式点P从A出发，在线段
4、AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作AMBC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【解析】点B、C在直线为yx+n上，B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，a1，b6，抛物线解析式：yx2+6x5；由题意，得，PB4t，BE2t，由知，OBC45，点P到BC的高h为BPsin45（4t），SPBEBEh，当t2时，
5、PBE的面积最大，最大值为2；由知，BC所在直线为：yx5，点A到直线BC的距离d2，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设N（m，m2+6m5），则H（m，0）、P（m，m5），易证PQN为等腰直角三角形，即NQPQ2，PN4，NH+HP4，m2+6m5（m5）4解得m11，m24，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m4；NH+HP4，m5（m2+6m5）4解得m1，m2，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m5，m，NHHP4，（m2+6m5）（m5）4，解得m1，m2，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m0，m，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的
6、四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式【解析】（1）由题意得：解得，抛物线的函数表达式为yx22x3（2）抛物线与x轴交于B（1，0），C（3，0），BC4，抛物线的对称轴为直线x1，如图，设抛物线
7、的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH2，由翻折得CBCB4，在RtBHC中，由勾股定理，得CH2，点C的坐标为（1，2），tan，CBH60，由翻折得DBHCBH30，在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30，点D的坐标为（1，）（3）取（2）中的点C，D，连接CC，BCBC，CBC60，CCB为等边三角形分类讨论如下：当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，CPPCQ，CCB为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP（SAS），BQCP点Q在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQCP，又BCBC，BP垂直平分CC，由翻折可知
8、BD垂直平分CC，点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为ykx+b，则，解得，直线BP的函数表达式为y当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方PCQ，CCB为等边三角形，CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60BCPCCQ，BCPCCQ（SAS），CBPCCQ，BCCC，CHBC，CBP30，设BP与y轴相交于点E，在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan301，点E的坐标为（0，）设直线BP的函数表达式为ymx+n，则，解得，直线BP的函数表达式为y综上所述，直线BP的函数表达式为或4. (2019 天津市)已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（m，
9、0）是x轴正半轴上的动点（）当b2时，求抛物线的顶点坐标；（）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m5时，求b的值；（）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值【解析】（）抛物线yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，当b2时，yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（）由（）知，抛物线的解析式为yx2bxb1，点D（b，yD）在抛物线yx2bxb1上，yDb2bbb1b1，由b0，得b0，b10，点D（b，b1）在第四象限，且在抛物线对称轴x的右侧，如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，则点E（b，0），AEb+1，DEb+1，得
10、AEDE，在RtADE中，ADEDAE45，ADAE，由已知AMAD，m5，5（1）（b+1），b31；（）点Q（b+，yQ）在抛物线yx2bxb1上，yQ（b+）2b（b+）b1，可知点Q（b+，）在第四象限，且在直线xb的右侧，AM+2QM2（AM+QM），可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45，得AMGM，则此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，QHMH，QMMH，点M（m，0），0（）（b+）m，解得，m，AM+2QM，（）（1）+2（b+）（），b4 5. (201
11、9 新疆建设兵团)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛物线若新抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当PQC与ABC相似时，求PQC的面积【解析】（1）函数表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，
12、再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D（h，1），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y4x+4，将点D坐标代入直线AC的表达式得：14（h）+4，解得：h，故：0h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、HOBOC4，PBAOCB45QPC，直线BC的表达式为：yx+4，则AB5，BC4，AC，SABC5410，设点Q（m，m2+3m+4），点P（m，m+4），CPm，PQm2+3m+4+m4m2+4m，当CPQCBA，即，解得：m，相似比为：，当CPQABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：SPQC10（）2或SPQC1
13、0（）26. (2019 浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长【解析】（1）OA3，tanOAC，OC，四边
14、形OABC是矩形，BCOA3，D是BC的中点，CDBC，D（，）；（2）tanOAC，OAC30，ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30，AB，AFBF，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA），AEBD，OEOA+AE，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2+x，E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，
15、）求得此时抛物线解析式为yx2+x+，E（6，0），直线DE：yx+，F2（3，）；点F运动路径的长为F1F2，DFG为等边三角形，G运动路径的长为7. (2019 广西百色市)已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点（1）求、的值；（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；（3）满足（2）的条件时，求的值【解析】（1）将代入，得：，；将代入，得：，（2）由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为当时，解得：，点的坐标为，设点的坐标为，则，是以为底边的等腰三角形，即，整理，得：，解得：，点的坐标为或（3）过点作轴，垂足为点，如图所示当点的坐标
16、为时，；当点的坐标为时，满足（2）的条件时，的值的值为或8. (2019 广西防城港市)如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线与是“互为关联”的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值【解析】
17、由抛物线可得，将，代入得，解得，；（2）易得直线的解析式：，若为直角顶点，直线解析式为联立，解得，或，；若为直角顶点，同理得解析式：，联立，解得，或，；若为直角顶点，设由得，即，解得或（不符合题意舍去），点的坐标或；（3），设，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，则，设交于点，易知，当时，的最大值为169. (2019 四川省广元市)如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线yax2+bx+c与x轴交于点C（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EFBC，交AB于点F，当BEF的面积是时，求点
18、E的坐标；（3）在（2）的结论下，将BEF绕点F旋转180得BEF，试判断点E是否在抛物线上，并说明理由【解析】（1）yx+4，令x0，y4，令y0，则x4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EFBC，则直线EF的表达式为：y4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y4x4m，联立并解得：x（m+1），则点F（，），SBEFSOABSOBESAEF444m（4m），解得：m，故点E（，0）、点E（2
19、，2）；（3）BEF绕点F旋转180得BEF，则点E（，4），当x时，yx2+3x+4（）2+3+44，故点E不在抛物线上10. (2019 四川省遂宁市)如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当OPMN时，请判断NOB的形状，并求出此时点B的坐标求证：BNMONM【解析】（1）二次函数顶点为P（3，3）设顶点式ya（x3）2+3二次函数图象过点A（6，0）（63）2a+30，解得：a二次函数的
20、关系式为y（x3）2+3x2+2x（2）设B（b，b2+2b）（b3）直线OB解析式为：y（b+2）xOB交对称轴l于点M当xM3时，yM（b+2）3b+6，M（3，b+6）点M、N关于点P对称，NPMP3（b+6）b3，yN3+b3b，即N（3，b）OPMN，OPMPb3，解得：b3+3b2+2b（3+3）2+2（3+3）3B（3+3，3），N（3，3+3）OB2（3+3）2+（3）236+18，ON232+（3+3）236+18，BN2（3+33）2+（333）272+36OBON，OB2+ON2BN2NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，3）证明：如图，设直线BN与x轴交于点D，B（b，b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为ykx+d 解得：直线BN：ybx+2b当y0时，bx+2b0，解得：x6，D（6，0）C（3，0），NCx轴，NC垂直平分ODNDNOBNMONM
