1、排列、组合、二项式定 理、概 率 与 统 计专 题 三121212121212nnnnnmmnmNmmmnmmnmNmmm计数原理分类计数原理：完成一件事，有 类办法，在第 类办法中有种不同的方法，在第 类办法中有种不同的方法，在第 类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 分步计数原理：完成一件事，需要 个步骤，做第 步有种不同的方法，做第 步有种不同的方法，做第 步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方1法 0()()AA11A!0!32112Amnmmnnnnm mnnmnm mnnmn nnmnnm 排列排列的定义：一般地，从 个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序
2、排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列排列数的定义：从 个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示排列数公式：，规定：！；无意义 123()()C121C.CC34(mnmmnnmmmn mnnnm mnnmnm mnnmAn nnnmnAmm nmm 组合组合的定义：一般地，从 个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从 个不同元素中任取 个元素的一个组合组合数的定义：从 个不同元素取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号表示组合数公式：！组合数性质：110)CCC()C0.mmmnnnnnm
3、n；规定：011*1*CCCCC(4)C()12Cnnnkn kknnnnnkn kknknrn rnnabaababbTabnnNN二项式定理二项展开式：，通项为二项式系数的性质对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即*0110213511()2CCC22CCCCC2nnnnnnnnnnnnnkn增减性与最大值：当 时，二项式系数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数最大的项在中间如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大且相等各二项式系数的和：，且奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，均
4、为，即N*()nN分析：分两步完成，即首先排A，B，C三个字母，然后排余下的两个字母D，E考点1 排列与组合的应用()()A 12 B 20C 40 D 60ABCDEABCABCCBA将、排成一列，要求、在排列中顺序为“、”或“、”可以不相邻，这样的排列数有 种例 种 种1.种35223252C2AC2 A40C.ABCABCDE 五个字母排成一列，先从中选三个位置给、且、有两种排法，即，然后让、排在剩余两个位置上，有种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为解，故析：选()ABC本题解答实际上是利用“特殊元素 位置 特殊处理”的原理处理的，其“，”就是【思维启迪】特殊元素35515()A 15
5、B 12C 9D 6某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙 种不同的树苗，从中取出 棵分别种植在排成一排的 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第 个树坑和第 个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种 种 种 变：题试种 12222122241242C224AA2C6.D根据第 个树坑和第 个树坑为特殊元素，可将问题分两类：第 个树坑和第 个树坑种相同的树苗，有种；第 个树坑和第 个树坑种不同的树苗，有种，则共有种析，故解：选分析：以第一个括号的两项为准，分别考虑第二个括号中如何取项才是常数项，而第二个括号产生的项可用二项展开式的通项公式来处理28112()_()xxx的展开式例2.中常数项为用数字表
6、示考点2 二项式定理的应用8188 28448225581C()1C1411C7011127042521C1.212rrrrrrrTxxxrxxr 第二个括号的通项为，则当第一个括号中取 时，则第二个括号必取常数项，由通项易知当时，取得常数；当第一个括号中取时，则第二个括号必取项，由通项易知当时，取得常数，所以解析：展开式中常数项为 12本题主要考查二项式定理的通项公式及分类讨论的思想方法解答两个因式积的展开式问题主要有两种途径：通过变形转化为一个二项式的形式求解；利用组合的知识，寻求产生指定项的各种可能的情况，然后求它们的和，【思维启迪】即为所求1()64()A 10 B 20C 30 D
7、120nxx若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为 变式题：666 21663626461()1C()C2C.203.06nrrrrrrnxxTxxxrr由条件知，则，而在展开式的通项为令解析：展开式的常数项为，得，故5A 150B 180C 200D 280名志愿者分别到三个不同国家展览馆进行世博会知识宣传，每个地方至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 种 种 种 备选例题:种51,1,32,2,1 首先根据题意须将 名志愿者分成三组，再分配到三个不同国家展览馆去，而分组有与分：两种析2235352233352225332251,1,32,2,1CA(C)A150.AC CAC C
8、A将 名志愿者的人数按与分成三组的分法有种，将每组分配到三个不同国家展览馆的分法有种，根据分类计算原理知不同的分派方法共有种解，故析：选()“”nm nmnmm此类问题为排列组合中的分组问题此类型题可归纳为：将 个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放入一个，问有多少种不同的放法解答时先按要求将 个元素分成 组，然后再 全排列 分【思到 个维启迪】盒子中 211解决排列组合问题的策略和方法对无限制条件的：直接法，即直接利用计数原理与排列、组合的知识解答有限制条件的以元素或位置有特殊要求为限制条件：可考虑元素或位置优先排列法；以“元素相邻”为限制条件：捆绑法，即将有相邻要求的元素捆绑在一起，
9、看做一个“假想元素”，再与其他元素进行排列；以“不相邻”为限制条件：插空法，即首先将无条件要求的元素进行全排，然后将有“不相邻”要求的元素插入到无条件要求的排列中去；以“顺序固定”为限制条件：消序法，即将有顺序固定处理为一种排法，一般利用除法可达到目的 1232解决二项式有关问题的策略和方法求二项展开式中的特定项，一般用通项公式、待定系数法求解；求二项展开式系数和问题，一般用赋值法；证明某些组合恒等式或求和问题，常用构造法，构造一个生成相应二项式系数的函数或构造同一个命题的不同解法，通过研究函数或变更命题来解决；456证明不等式：通过二项式展开，根据命题形式对展开式中的若干个项进行放缩；整除问题或求余数：应先构造二项式后再展开研究；近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项4312 A 12 B 24 C 30 1.(2 D 30 161)位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修 门，则恰有 人选修课程甲的不同选法共有 种全国大种 种纲卷种246262 2424C4因为恰有 人选修课程甲，共有种结果，所以余下的两个人各有两种选法，共有种结果，根据分步计数原理解析知：共有种结果641 2.2.(2011)xx的展开式中 的系数是_庆卷_ 重6164442 C2402 C.4.rrrrTxrx解析：的系展开式的通项为令得展开数式是中